¿Es la noción de ' divergencia al infinito en una dirección ' utiliza?

Question

En $\mathbb R$ una secuencia puede divergir hasta el infinito en dos direcciones: $+\infty$$-\infty$. Estos dos casos de divergencia son muy diferentes de una secuencia que se bifurca a "la nada", como $\{(-1)^n\}$. Uno puede estar interesado, por ejemplo, en el comportamiento de una función en una de estas dos direcciones de infinito.

Hay una noción similar para las secuencias en el plano complejo? (U otros espacios) surge de manera natural en algunas campo de estudio? ¿Cuáles son los posibles usos?

Me imagino, por ejemplo, que la secuencia de $\{ni\}$ podría decirse que divergen hasta el infinito en la dirección $i$, mientras que la secuencia de $\{ne^{in\sqrt2}\}$ podría decirse que divergen hasta el infinito en "todas las direcciones", o en un "divergentes dirección", o en un "conjunto de instrucciones".

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Edit: Añadido dos geometría etiquetas, siguiendo el comentario de Moishe Cohen

Answer 1

Sí, este campo de estudio se denomina geometría (geometría métrica y geometría de Riemann para ser más precisos) y la descripción de diferentes maneras a la divergencia a más infinito (las diferentes direcciones de la divergencia), es muy importante. Considere por ejemplo: Gromov límite. En su libro "la Enciclopedia de las Distancias" (páginas 116-117), M. Deza y E. Deza lista de 5 diferentes ideales de los límites (y algunos de estos 5 elementos tienen varios puntos), que capturan diferentes aspectos de divergente a infinito en diferentes direcciones en diferentes espacios. (En realidad, hay más límites que la lista, una vez que uno se da cuenta de que probabilists también tienen formas de capturar la divergencia hasta el infinito, lo que resulta en, digamos, la de Poisson, Furstenberg y Martin límites.) Como para el plano complejo, se obtiene el círculo como el ideal de frontera (en el punto 1 en el Deza-Deza de la lista). Esto corresponde a la divergencia a lo infinito, a lo largo de uno de los rayos de partida en el origen. (Cada rayo le da una dirección.) Uno puede comenzar en diferentes puntos en el plano, entonces los rayos paralelos de rendimiento de la misma dirección de la divergencia.