Pregunta integral específica: $\int_0^1(f'(t))^2dt \geq 3(\int_0^1f(t)dt)^2$

Question

Estoy estudiando para mi final de análisis real de mañana y me encontré con esta pregunta en un final de práctica y estoy perplejo sobre cómo empezar.

Dejemos que $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función diferenciable tal que $f'$ es continua y $f(1)=0$ . Demuestra que la siguiente desigualdad es válida: $\int_{0}^{1}(f'(t))^2dt \geq 3(\int_{0}^{1}f(t)dt)^2$ .

Cualquier orientación sobre cómo empezar sería de ayuda..

Answer 1

Primero aplique la integración por partes:

$$\int_0^1f(x)\;dx=-\int_0^1xf'(x)\;dx$$

Aquí hemos utilizado el hecho de que $xf(x)$ se desvanece en ambos $0$ y $1$ .

Ahora invoca a Cauchy-Schwarz. Tenemos $$\left(\int_0^1f(x)\;dx\right)^2=\left(\int_0^1xf'(x)\;dx\right)^2≤\int_0^1\left(f'(x)\right)^2\;dx\;\times\;\int_0^1x^2\;dx$$

Y su desigualdad sigue de inmediato.