Supongo que por $\prod\mathbb{Z}$ que significa un infinito producto. Ya que cada infinita producto contiene una contables de producto, y $\text{Ext}^1(-,\mathbb{Z})$ es derecho exacta, para demostrar que $\text{Ext}^1(\prod\mathbb{Z},\mathbb{Z})\neq0$ podemos muy bien suponer que es una contables de producto.
Voy a escribir $\Pi$ para el producto de countably muchas copias de $\mathbb{Z}$.
Por un teorema de Baer, $\Pi$ no es un grupo abelian, pero si lo fuera, entonces $\text{Ext}^1(\Pi,\mathbb{Z})$ sería igual a cero. Así que usted puede esperar cualquier prueba, al menos, tan duro como Baer del teorema.
Una prueba de Baer del teorema utiliza un famoso resultado de Specker que se describen $\text{Hom}(\Pi,\mathbb{Z})$, y, en particular, muestra que es contable. Esto puede ser usado para demostrar su estado de cuenta.
A pesar de $\text{Hom}(\Pi,\mathbb{Z})$ es contable, $\text{Hom}(\Pi,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ es incontable (de hecho, de cardinalidad $2^{2^{\aleph_0}}$), ya que $\Pi/2\Pi$ es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre el campo $\mathbb{F}_2$ de dos elementos, y por lo tanto tiene una cantidad no numerable de homomorphisms a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
Ahora aplique el functor $\text{Hom}(\Pi,-)$ a la corta secuencia exacta $0\to\mathbb{Z}\stackrel{\times2}{\to}\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to0$, produciendo una secuencia exacta
$$\text{Hom}(\Pi,\mathbb{Z})\to\text{Hom}(\Pi,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\to\text{Ext}^1(\Pi,\mathbb{Z}).$$
Desde que el primer término es contable, pero el segundo término es incontable, el tercer término es distinto de cero.
Probablemente hay otras pruebas basadas en enfoques diferentes para la Baer del teorema.
