¿Se puede definir funciones hiperbólicas en términos de funciones trignometric?

Question

¿Por ejemplo, puede escribir en función de $\sinh x$ $\sin x$?

¿Otra pregunta, son funciones hiperbólicas depende de su correspondencia trigonométrica de cualquier manera?

Answer 1

Sí. Por ejemplo\begin{align*} \sinh x &= -i \sin(ix) \\ \cosh x &= \cos(ix) \\ \tanh x &= -i \tan(ix) \\ \end{align*}

Estas identidades provienen de las definiciones,

$$ \sin x = \frac{e^{xi}-e^{-xi}}{2i} \text{ and } \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} $ $ y similar para el coseno y la tangente.

Answer 2

Además de las conexiones entre las funciones hiperbólicas y circulares de sustituciones que implican discusiones imaginarias las funciones también pueden ocurrir usando sólo verdaderos argumentos mediante la función de Gudermann definido como % $ $$\text{gd}(x)=\int_0^x\text{sech}\,t\,dt$esto conduce a las identidades como $\sinh x = \tan (\text{gd}\,x)$ y $\sin x = \tanh( \text{gd}^{-1}\, x)$.

Answer 3

Esto puede no ser lo que quieres decir, pero la frase "como una función de" a veces tiene un estrecho y con un significado preciso. Específicamente, "$x$ puede ser escrita como una función de la $y$" significa que hay una función de $f$ tal que $x = f(y)$.

Para responder a esa estrecha cuestión, $\sinh x$ no puede ser escrito como una función de $\sin x$ porque $\sin$ es periódica a lo largo del eje real, sino $\sinh$ no lo es.

Más específicamente:

1. Suponga $\forall{x \in R},~ \sinh(x) = f(\sin(x))$
2. Por lo tanto, $\sinh(0) = f(\sin(0))$ $\sinh(2\pi) = f(\sin(2\pi))$
3. Por lo tanto, $\sinh(0) = f(0) = \sinh(2\pi)$

La última ecuación no es cierto.