¿Cuál es la relación entre los monoides y los módulos? ¿Son estructuras algebraicas completamente diferentes, o existe una especie de relación de inclusión del tipo "los elementos de un módulo son también elementos de un monoide"?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Un módulo es un grupo abeliano. (Es más útil pensar en un módulo como el análogo de un espacio vectorial, pero con el conjunto de escalares procedentes de un anillo en lugar de un campo. Normalmente, se llega a esta noción de módulo en términos de "la acción de un anillo sobre un conjunto" donde el conjunto es un módulo).
Un monoide es una relajación de la definición de grupo. Un monoide tiene una operación asociativa y un elemento neutro, pero no promete nada sobre los inversos.
No veo cómo expresar más relación que "todos los módulos son monoides", pero sólo por la aburrida razón de que todos los grupos (abelianos) son monoides (abelianos) con la restricción añadida de que cada elemento tiene un inverso.
phani
Puntos
36
Hay una cadena de olvidadizo functores que olvida progresivamente las distintas operaciones de la estructura: $$\mathrm{Mod_R}\to\mathrm{Ab}\to\mathrm{AbMon}\to\mathrm{Set}$$
Lo interesante es que también se puede ir en la dirección contraria con gratis functores $$\mathrm{Set}\to\mathrm{AbMon}\to\mathrm{Ab}\to\mathrm{Mod_R}$$
Cada funtor de olvido $U$ es adjunto al respectivo functor libre $F$
