¿Cómo creo una función mensurable?

Question

Aunque siempre he sabido que la definición de la cuantificación en términos de pre imágenes de conjuntos medibles ser medibles, yo realmente no conceptualmente entender el propósito de medir las funciones o lo que significa.

Más específicamente, esto me ocurrió cuando yo estaba buscando en un papel de hablar acerca de los límites de una función medible, $U:\mathbb{R_+} \rightarrow \mathbb{R_+}$ (el límite era de $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{U(tx)}{U(t)}$), sin especificar por qué la función tenía que ser medibles. Es que me dejó en una gran duda de mi propio conocimiento de la teoría de la medida. Es alguien capaz de darme alguna intuición y una posible razón para la medición con respecto a la toma de límites?

Answer 1

Voy a disentir de algunos de los comentarios y aconsejar en contra del pensamiento acerca de la cuantificación en términos de una propiedad topológica como una continuidad, incluso para heurística fines. El hecho es que la medición no es un concepto topológico, y es importante ser conceptualmente claro acerca de esto, especialmente si usted va a estudiar más abstracto de la teoría de la medida en la que medible espacios no siempre vienen equipados con un natural de la topología (a diferencia de los números reales, por ejemplo). Hay, por supuesto, es importante la vinculación de los resultados de la medición y la continuidad. He mencionado dos en mi comentario: Lusin del teorema y de Lebesgue del criterio de integrabilidad de Riemann. Usted debe saber que estos resultados y entender por qué tienen, pero usted no debe concluir en su base de que, en general, el concepto de medición puede ser (aproximadamente) se reduce a que el concepto de continuidad.

Ahora bien, en cuanto intuiciones, mi consejo es siempre tener en mente que las aserciones acerca de la mensurabilidad son siempre relativos a particular sigma-álgebras. Como usted menciona, en función de la $f: (X_1, \mathcal{F}_1) \to (X_2, \mathcal{F}_2)$ entre los dos espacios medibles es $(X_1, \mathcal{F}_1, X_2, \mathcal{F}_2)$-medible (notificación de la calificación de "medibles") $$f^{-1}(B_2) \in \mathcal{F}_1$$ para todos los $B_2 \in \mathcal{F}_2$. A veces la mención de uno o ambos sigma-álgebras es suprimida cuando el contexto deja en claro lo medible espacios que uno está trabajando con. Por ejemplo, en el análisis real, a menudo se trata con funciones de $(\mathbb{R}, \mathcal{L})$ a $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ donde $\mathcal{L}$ es la colección de Lebesgue medibles y conjuntos de $\mathcal{B}$ es el Borel sigma-álgebra.

La intuición detrás de la definición formal es simplemente que la función de $f$ puede ser medido. Es decir, si ahora nos equipar $(X_1, \mathcal{F}_1)$ con una medida $\mu$, la medición de la $f$ garantiza que cualquier "declaración razonable" $B_1$ sobre los valores que $f$ toma es en realidad un conjunto en $\mathcal{F}_1$, y, por tanto, $\mu(B_1)$ tiene sentido. Volviendo a la canónica real el análisis de la configuración, $B_1$ podría ser una declaración como "$f(x) \leq 5$" o "$f(x) \in (0, \infty)$". Mensurabilidad garantiza que estos personajes "declaraciones" son en realidad conjuntos en $\mathcal{F}_1$ que se puede medir. Por ejemplo, la primera declaración corresponde al conjunto $B_1 = \{x \in \mathbb{R}: f(x) \leq 5 \}$.

Con esto en mente, permítanme explicar por qué recomienda no confundir la mensurabilidad y la continuidad. Considere una función de $f: (\mathbb{R}, \mathcal{F}_1) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B})$ donde $\mathcal{F}_1$ es la trivial sigma-álgebra $(\emptyset, \Omega)$. A partir de la definición formal, llegamos a la conclusión de que $f$ es medible si y sólo si es una función constante (comprobarlo). Pero esto deja afuera a muchos "bien portados",y, en particular, continua, las funciones! En otras palabras, hay muchas funciones continuas que no $(\mathbb{R}, \mathcal{F}_1, \mathbb{R}, \mathcal{B})$-medible. Podemos ver que un montón de vueltas en la elección de $\mathcal{F}_1$.

Otro ejemplo importante a lo largo de estas líneas es que hay funciones continuas $f: (\mathbb{R}, \mathcal{L}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{L})$ que no son medibles. Ver la discusión aquí. Así que podemos ver que un montón de vueltas en la elección de sigma-álgebra en el codominio así.

Por último, en respuesta a su pregunta acerca de los límites, es un ejercicio útil para probar, directamente de la definición, que la pointwise límite de una secuencia de valores de funciones medibles es medible. (Como PhoemueX señaló en los comentarios, pointwise convergencia no tiene sentido para las funciones entre espacios medibles, por lo que ahora consideramos funciones que toman valores en $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$.) Este tipo de ejercicio debe ayudar a sus intuiciones bastante. Considere la posibilidad de $f_n: (X_1, \mathcal{F}_1) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B})$ donde $(X_1, \mathcal{F}_1)$ es arbitraria medibles espacio, cada una de las $f_n$ es medible, y $f_n \to f$. En primer lugar, es suficiente para mostrar que $f^{-1}((-\infty, x]) \in \mathcal{F}_1$ todos los $x \in \mathbb{R}$ debido a que los conjuntos de la forma $(-\infty, x]$ generar $\mathcal{B}$ (verificar). Ahora tratamos de demostrar que $$f^{-1}((-\infty, x]) = \cap_{m=1}^\infty \cup_{n=1}^\infty \cap_{k=n}^\infty \{ f_k^{-1}((-\infty, x + 1/m])\}.$$ (Basta con pensar en la definición de un límite y traducir los cuantificadores "para todos" y "algunos" a$\cap$$\cup$, respectivamente). ¿Sabes cómo concluir, a partir de aquí?

Answer 2

Tomando un resumen medibles espacio de $(X, \mathcal{S})$, sin ningún tipo de estructura topológica necesariamente, de la mensurabilidad de las funciones está directamente vinculada a la estructura de una $\sigma$campo $\mathcal{S}$, y a la necesidad de definir resumen de la integración de la función con respecto a alguna medida $\mu$ sobre el espacio, definido en los conjuntos medibles.

No medible de conjuntos no medibles funciones y viceversa.

Si usted tiene un no-medibles conjunto, tiene un no-medibles función tomando el indicador de ese conjunto.

Trabajando en el otro sentido, se puede escribir cualquier valor real medible función como la pointwise casi en todas partes (w.r.t. $\mu$) límite de una secuencia finita de las combinaciones lineales de funciones de los indicadores de conjuntos medibles.

Cuando llegue a la definición de una integral, al menos en este resumen de configuración, puede empezar por definir por combinación lineal de los indicadores, a través de $$\sum_1^n a_i \mu(A_i) = \int_X f \, d\mu $$ where $A_i$ is a finite partition of $X$ and $a_i$ are real numbers for $i = 1 \ldots n$, when $f$ es una función de la forma.

Esa definición con las propiedades básicas de las medidas que permiten definir el resumen integral de cualquier función medible (con la salvedad de que no tanto de una función integral de negativa y positiva de las partes puede ser infinito).

Así que, de nuevo, la necesidad de la medición está directamente relacionado con los conjuntos para que una medida está definida, la pone en $\mathcal{S}$. Un no-medibles conjunto se le dará un no-medibles función para la cual la integral anterior no puede ser definido.

Cuando usted tiene ciertos especial estructura topológica en $X$, y algunas de las propiedades de $\mu$, se obtiene un poco reconfortante conexiones a la integración de Riemann. Por ejemplo, Lusin del teorema en el segundo contables espacios con medidas de Radón le permite pensar de funciones medibles como 'casi' continuo.

Pero incluso allí, la declaración de 'casi' está relacionada con las propiedades de la medida y la integral: Desde que es discontinua en un conjunto null con respecto a $\mu$, se puede ignorar que el inconveniente que cuando se toma la integral.

Finalmente, todo lo anterior con un valor real de las funciones y un Borel $\sigma$-campo en el codominio en mente. La cuantificación depende mucho en el codominio de la $\sigma$-el campo como lo hace en el dominio, pero la intuición es el mismo: seguir el medibles y no medibles conjuntos de entender medibles y no medibles funciones.