¿Determinan la fibra y el grupo estructural el haz de fibras sobre un espacio dado?

Question

Entonces, digamos que $B$ es un espacio topológico honesto (conectado por trayectorias y localmente conectado de forma simple), y se nos dan dos haces de fibras sobre $B$ $$F_i \hookrightarrow E_i \to B, \qquad i=1,2$$ con grupos de estructuras $G_i$ . Supongamos ahora que

1. las fibras son las mismas: $F_1=F_2$ .

2. los grupos de estructura son los mismos: $G_1 = G_2$ .

¿Podemos concluir que los espacios totales son también los mismos, es decir, que $E_1=E_2$ ?

Answer 1

Definitivamente no.

He aquí un ejemplo sencillo. Dependiendo de la elección de las funciones de transición, un paquete de la forma $$[-1,1] \hookrightarrow E \to S^1$$ y el grupo de estructura $\Bbb Z/2 = \{-1,1\}$ (que actúa sobre la fibra $[-1,1]$ a través de la multiplicación) puede tener como espacio total un cilindro o una banda de Möbius.

Editar: Dejemos que $[-1,1] \hookrightarrow E \to S^1$ sea un haz de fibras con grupo estructural $\Bbb Z/2 = \{-1, 1\}$ como en el caso anterior. Construiré los casos en los que $E$ es el cilindro $S^1 \times [-1,1]$ y donde $E$ es la banda de Möbius que utiliza funciones de transición.

Supongamos que $E$ se trivializa sobre $U_1 = (-\varepsilon, \pi +\varepsilon)$ y $U_2 = (\pi-\varepsilon, \varepsilon)$ (aquí $\varepsilon$ es sólo un pequeño número positivo y estamos pensando en $S^1$ como $\Bbb R/2\pi\Bbb Z$ ). Tenemos que $$U_1 \cap U_2 = (-\varepsilon, \varepsilon) \cup (\pi-\varepsilon, \pi+\varepsilon).$$ Supongamos que en el componente $(\pi-\varepsilon, \pi+\varepsilon)$ de $U_1 \cap U_2$ la función de transición viene dada por $$\theta_{12}(x) = 1 \text{ for all } x \in (\pi-\varepsilon, \pi+\varepsilon).$$ Dado que una función de transición debe ser continua y $\Bbb Z/2$ está desconectado, vemos que las únicas posibilidades de $\theta_{12}|_{(-\varepsilon,\varepsilon)}$ son \begin {align*} \text {(a)} & \quad \theta_ {12}(x) = 1 \text { para todo } x \in (- \varepsilon , \varepsilon ), \\ \text {(b)} & \quad \theta_ {12}(x) = -1 \text { para todo } x \in (- \varepsilon , \varepsilon ). \end {align*} El caso (a) da el haz trivial sobre $S^1$ . En el caso (b), tenemos que el espacio total $E$ es la banda de Möbius.

Para visualizar los dos casos (a) y (b) anteriores, observe que en base a nuestras elecciones hasta ahora, tenemos una franja $[-\varepsilon,2\pi+\varepsilon] \times [-1,1]$ y tenemos que pegar los dos extremos $[-\varepsilon,0] \times [-1,1]$ y $[2\pi, 2\pi+\varepsilon] \times [-1,1]$ juntos para obtener $E$ . La opción (a) sólo identifica los dos extremos de forma trivial y nos da el cilindro $S^1 \times [-1,1]$ . La opción (b) nos hace girar uno de los extremos antes de pegar, introduciendo una torsión y, por tanto, dándonos una banda de Möbius.

Si fijamos el espacio base $B$ , fibra $F$ , grupo de estructura $G$ y las funciones de transición $\{\theta_{\beta\alpha}\}$ entonces el espacio total $E$ es determinado. Esencialmente, $E$ se compone de piezas $U_\alpha \times F$ donde $\{U_\alpha\}$ es una cubierta abierta de $B$ y las funciones de transición $\{\theta_{\beta\alpha}\}$ decirnos cómo pegar estas piezas a lo largo de las superposiciones donde $U_\alpha \cap U_\beta \neq \varnothing$ . Las funciones de transición no son más que una receta para pegar los trozos localmente triviales del haz y obtener $E$ .

Answer 2

Considere su pregunta para el director $G$ -bundles sobre un espacio honesto $M$ . Obsérvese que el grupo estructural de un principal $G$ -el paquete es $G$ .

Clases de isomorfismo de los principales $G$ -bundles over $M$ están en correspondencia uno a uno con las clases de homotopía de los mapas $M\to BG$ el espacio de clasificación de $G$ . Así, en particular, la fibra $G$ y la base $M$ caracterizan el haz si y sólo si $[M,BG]$ es trivial.

Véase también esta pregunta de MSE: Clasificación de los haces de fibras generales