Definitivamente no.
He aquí un ejemplo sencillo. Dependiendo de la elección de las funciones de transición, un paquete de la forma [-1,1] \hookrightarrow E \to S^1 y el grupo de estructura \Bbb Z/2 = \{-1,1\} (que actúa sobre la fibra [-1,1] a través de la multiplicación) puede tener como espacio total un cilindro o una banda de Möbius.
Editar: Dejemos que [-1,1] \hookrightarrow E \to S^1 sea un haz de fibras con grupo estructural \Bbb Z/2 = \{-1, 1\} como en el caso anterior. Construiré los casos en los que E es el cilindro S^1 \times [-1,1] y donde E es la banda de Möbius que utiliza funciones de transición.
Supongamos que E se trivializa sobre U_1 = (-\varepsilon, \pi +\varepsilon) y U_2 = (\pi-\varepsilon, \varepsilon) (aquí \varepsilon es sólo un pequeño número positivo y estamos pensando en S^1 como \Bbb R/2\pi\Bbb Z ). Tenemos que U_1 \cap U_2 = (-\varepsilon, \varepsilon) \cup (\pi-\varepsilon, \pi+\varepsilon). Supongamos que en el componente (\pi-\varepsilon, \pi+\varepsilon) de U_1 \cap U_2 la función de transición viene dada por \theta_{12}(x) = 1 \text{ for all } x \in (\pi-\varepsilon, \pi+\varepsilon). Dado que una función de transición debe ser continua y \Bbb Z/2 está desconectado, vemos que las únicas posibilidades de \theta_{12}|_{(-\varepsilon,\varepsilon)} son \begin {align*} \text {(a)} & \quad \theta_ {12}(x) = 1 \text { para todo } x \in (- \varepsilon , \varepsilon ), \\ \text {(b)} & \quad \theta_ {12}(x) = -1 \text { para todo } x \in (- \varepsilon , \varepsilon ). \end {align*} El caso (a) da el haz trivial sobre S^1 . En el caso (b), tenemos que el espacio total E es la banda de Möbius.
Para visualizar los dos casos (a) y (b) anteriores, observe que en base a nuestras elecciones hasta ahora, tenemos una franja [-\varepsilon,2\pi+\varepsilon] \times [-1,1] y tenemos que pegar los dos extremos [-\varepsilon,0] \times [-1,1] y [2\pi, 2\pi+\varepsilon] \times [-1,1] juntos para obtener E . La opción (a) sólo identifica los dos extremos de forma trivial y nos da el cilindro S^1 \times [-1,1] . La opción (b) nos hace girar uno de los extremos antes de pegar, introduciendo una torsión y, por tanto, dándonos una banda de Möbius.
Si fijamos el espacio base B , fibra F , grupo de estructura G y las funciones de transición \{\theta_{\beta\alpha}\} entonces el espacio total E es determinado. Esencialmente, E se compone de piezas U_\alpha \times F donde \{U_\alpha\} es una cubierta abierta de B y las funciones de transición \{\theta_{\beta\alpha}\} decirnos cómo pegar estas piezas a lo largo de las superposiciones donde U_\alpha \cap U_\beta \neq \varnothing . Las funciones de transición no son más que una receta para pegar los trozos localmente triviales del haz y obtener E .