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¿Determinan la fibra y el grupo estructural el haz de fibras sobre un espacio dado?

Entonces, digamos que B es un espacio topológico honesto (conectado por trayectorias y localmente conectado de forma simple), y se nos dan dos haces de fibras sobre B F_i \hookrightarrow E_i \to B, \qquad i=1,2 con grupos de estructuras G_i . Supongamos ahora que

  1. las fibras son las mismas: F_1=F_2 .

  2. los grupos de estructura son los mismos: G_1 = G_2 .

¿Podemos concluir que los espacios totales son también los mismos, es decir, que E_1=E_2 ?

7voto

Lennart Regebro Puntos 136

Definitivamente no.

He aquí un ejemplo sencillo. Dependiendo de la elección de las funciones de transición, un paquete de la forma [-1,1] \hookrightarrow E \to S^1 y el grupo de estructura \Bbb Z/2 = \{-1,1\} (que actúa sobre la fibra [-1,1] a través de la multiplicación) puede tener como espacio total un cilindro o una banda de Möbius.

Editar: Dejemos que [-1,1] \hookrightarrow E \to S^1 sea un haz de fibras con grupo estructural \Bbb Z/2 = \{-1, 1\} como en el caso anterior. Construiré los casos en los que E es el cilindro S^1 \times [-1,1] y donde E es la banda de Möbius que utiliza funciones de transición.

Supongamos que E se trivializa sobre U_1 = (-\varepsilon, \pi +\varepsilon) y U_2 = (\pi-\varepsilon, \varepsilon) (aquí \varepsilon es sólo un pequeño número positivo y estamos pensando en S^1 como \Bbb R/2\pi\Bbb Z ). Tenemos que U_1 \cap U_2 = (-\varepsilon, \varepsilon) \cup (\pi-\varepsilon, \pi+\varepsilon). Supongamos que en el componente (\pi-\varepsilon, \pi+\varepsilon) de U_1 \cap U_2 la función de transición viene dada por \theta_{12}(x) = 1 \text{ for all } x \in (\pi-\varepsilon, \pi+\varepsilon). Dado que una función de transición debe ser continua y \Bbb Z/2 está desconectado, vemos que las únicas posibilidades de \theta_{12}|_{(-\varepsilon,\varepsilon)} son \begin {align*} \text {(a)} & \quad \theta_ {12}(x) = 1 \text { para todo } x \in (- \varepsilon , \varepsilon ), \\ \text {(b)} & \quad \theta_ {12}(x) = -1 \text { para todo } x \in (- \varepsilon , \varepsilon ). \end {align*} El caso (a) da el haz trivial sobre S^1 . En el caso (b), tenemos que el espacio total E es la banda de Möbius.

Para visualizar los dos casos (a) y (b) anteriores, observe que en base a nuestras elecciones hasta ahora, tenemos una franja [-\varepsilon,2\pi+\varepsilon] \times [-1,1] y tenemos que pegar los dos extremos [-\varepsilon,0] \times [-1,1] y [2\pi, 2\pi+\varepsilon] \times [-1,1] juntos para obtener E . La opción (a) sólo identifica los dos extremos de forma trivial y nos da el cilindro S^1 \times [-1,1] . La opción (b) nos hace girar uno de los extremos antes de pegar, introduciendo una torsión y, por tanto, dándonos una banda de Möbius.

Si fijamos el espacio base B , fibra F , grupo de estructura G y las funciones de transición \{\theta_{\beta\alpha}\} entonces el espacio total E es determinado. Esencialmente, E se compone de piezas U_\alpha \times F donde \{U_\alpha\} es una cubierta abierta de B y las funciones de transición \{\theta_{\beta\alpha}\} decirnos cómo pegar estas piezas a lo largo de las superposiciones donde U_\alpha \cap U_\beta \neq \varnothing . Las funciones de transición no son más que una receta para pegar los trozos localmente triviales del haz y obtener E .

1voto

Neal Puntos 16536

Considere su pregunta para el director G -bundles sobre un espacio honesto M . Obsérvese que el grupo estructural de un principal G -el paquete es G .

Clases de isomorfismo de los principales G -bundles over M están en correspondencia uno a uno con las clases de homotopía de los mapas M\to BG el espacio de clasificación de G . Así, en particular, la fibra G y la base M caracterizan el haz si y sólo si [M,BG] es trivial.

Véase también esta pregunta de MSE: Clasificación de los haces de fibras generales

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