¿Qué es

Question

Sea $(p_n)_{n\in\mathbb N}$ la secuencia estrictamente creciente de números primos todos. Me pregunto es qué %#% $ #%. ¿El resultado ya se conoce? Por el postulado de Bertrand obtenemos $$S:=\limsup_{n\to\infty} \frac{p_{n+1}}{p_n}$. ¿Se puede mejorar ese limite? ¿Tal vez tenemos $S\le 2$?

Comentario: Estoy muy agradecido a sus respuestas.

Answer 1

Sigue de teorema primero del número que \lim_n \frac{p_{n+1}}{p_n}=\lim_n\left $$ (\frac{p_{n+1}}{(n+1)\ln(n+1)} \cdot \frac{n\ln(n)} {p_n} \cdot \frac{(n+1)\ln(n+1)}{n\ln(n)} \right) = \cdot \cdot 1 1 1 $$

Ahora, desde $ \lim_n \frac{p_{n+1}}{p_n}=1$ luego el limsup existe y es el mismo.

Answer 2

Yuan-te Fu Rui Cheng, explícito estimación en primes entre cubos consecutivos, demostró que $x\ge\exp(\exp(15))$ allí es por lo menos un primo entre $x^3$y $(x+1)^3$. Por lo tanto, suficientemente grande $n$ debemos tener

$$\frac{p_{n+1}}{p_n}<\frac{\left(p_n^{1/3}+1\right)^3}{p_n}<1+\frac7{p_n^{2/3}}\;,$$

y $S=1$.

Answer 3

No es necesario citar documentos en las lagunas primeras - esto se deduce directamente del teorema primero del número que indica que $$\pi(x)=\sum_{p\leq x} 1=\frac{x}{\log x}+O\left(\frac{x}{\log ^2 x}\right).$$ Indeed, if there existed a $c # > 1 $ such that $ p_ {n+1} > cp_n$ infinitely often, then we would have $\pi (cx) = \pi (x) $ for infinitely many values of $x $, however this is impossible since $% $ $\frac{cx}{\log cx}-\frac{x}{\log x}\sim \frac{(c-1)x}{\log x}\neq O\left(\frac{cx}{\log^2 x}\right).$

Answer 4

el limsup es uno, ver el corolario al teorema de 3 en Rosser y Schoenfeld (1962). La información también le permite encontrar el máximo de la relación, que es probable que 3/2, pero se puede encontrar seguro. En cualquier caso, para el $n \geq 6,$ % $ $$ \frac{p_{n+1}}{p_n} < 1 + \frac{\log \log n}{\log n}, $por lo que el límite es de $1.$

Answer 5

El valor es $1$. Si $c>1$ es cualquier constante, luego

$$\pi(nc) - \pi(n) \approx \frac{nc}{\log(nc)} - \frac{n}{\log(n)}$$

converge a $\infty$ cuando $n\to \infty$ (se puede hacer el '$\approx$' precisa). Por lo tanto % lo suficientemente grande como $n$, siempre hay un primer entre $n$y $nc$ y así todos suficientemente grande $n$, $p_{n+1} < cp_n$. Esto es suficiente para demostrar que el lim sup es $1$.