¿Por qué funciona esta aproximación (y por qué falla)?

Question

Tengo una función

$$f(x)=\frac{e^{-x}}{x}$$

y estoy tratando de encontrar una expresión para la función inversa $f^{-1}(x)$ .

Hasta ahora he llegado a la aproximación:

$$\hat{f}^{-1}(x)=\left( \left( x+v \right )^e-v^e \right)^{-\frac{1}{e}}$$

donde $v \approx 0.83$

Esta fórmula es una buena aproximación para $x>0$ . Básicamente he dado con esta fórmula a base de trastear, pero no sé exactamente cuál es la relación entre la raíz e-ésima de una expresión y e a la potencia de dicha expresión. ¿Tiene algo que ver con la definición de límite de e:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty}{\left (1+\frac{1}{n} \right)^n} $$

Sin embargo, esto es sólo una aproximación, una aproximación que falla. Diferentes valores de $v$ ofrecen mejores aproximaciones, y creo que $v$ está relacionado con $e$ de alguna manera, sin embargo no estoy seguro de qué manera es. ¿Por qué mi función se acerca tanto, pero también falla? ¿Es sólo un caso especial?

Este es un diagrama que muestra $f^{-1}(x)$ (rojo) y $\hat{f}^{-1}(x)$ (azul).

Answer 1

Mi opinión es que has tropezado con una función que es asintóticamente equivalente a la inversa real.

La inversa real de su ecuación viene dada por el Lambert W función. La rama principal de la W de Lambert tiene una expansión en serie de Taylor cerca de $0$ dado por $$W(x) = x-x^2+\mathcal{O}(x^3).$$ El inverso real de su función $f(x)$ viene dada por $$f^{-1}(x) = W\left(\frac{1}{x}\right),$$ por lo que para los grandes $x$ tenemos $$f^{-1}(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} +\mathcal{O}\left(\frac{1}{x^3}\right).$$ Su inversa aproximada acaba de ser como $$\hat{f}^{-1}(x) \sim \frac{1}{x+v} \sim \frac{1}{x} - \frac{v}{x^2} + \mathcal{O}\left(\frac{v^2}{x^3}\right),$$ donde $v$ resulta estar relativamente cerca de $1$ , que es la principal razón por la que la aproximación parece buena.

De hecho, si se traza el error relativo entre $f^{-1}$ y $1/x-1/x^2$ frente al error relativo entre $\hat{f}^{-1}$ y $f^{-1}$ se encontrará con que la primera es una aproximación mucho mejor para $x \gtrsim 10$ como debe ser ya que es el polinomio de Taylor. No me sorprende que se pueda encontrar una mejor aproximación para un pequeño segmento de la función variando el valor de $v$ . Su aproximación es mejor en torno a $x\approx 2.3665$ que no parece tener ningún valor especial para $W$ Así que me inclino a decir que has tenido bastante suerte al encontrar una buena aproximación, junto con el efecto de búsqueda en otro lugar . Como usted mismo ha admitido, los diferentes valores de $v$ darán diferentes grados de aproximación, y no creo que haya nada particularmente especial. Si pudieras decirnos cómo has obtenido esta aproximación, podríamos decir algo más concreto.

Por cierto, si también quieres una aproximación que funcione para $x \ll 1$ entonces puedes probar la expansión asintótica $$W(1/x) \sim -\ln(-x\ln x)-\frac{\ln\left(-\ln x\right)}{\ln x} + \mathcal{O}\left(\frac{\ln\left(-\ln x\right)}{(\ln x)^2}\right).$$