n-ésima derivada donde $n$ ¿es un número real?

Question

Sabemos que $$\frac{d^n}{dt^n} e^{at}= a^n e^{at}; \, n\in \mathbb N.$$ Quiero saber si el resultado es verdadero si $n$ es un número real, es decir $n\in \mathbb R$ ?

Answer 1

Es una posible definición. Sabes que el resultado es válido para cualquier entero no negativo $n$ Así que lo defines como $a^ne^{at}$ para el fraccionamiento $n$ . Como otros han señalado, este es uno de los puntos de partida del cálculo fraccionario.