Suma de dígitos de la secuencia de Fibonacci

Question

Esta es mi primera pregunta aquí, así que por favor, ir fácil en mí.

Si usted sume los dígitos de cada número en la secuencia de Fibonacci hasta que su número es menor que 10, que parece que usted obtener un patrón de 24 números, que es:

1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1

Por supuesto, yo no demostrar que, sólo utiliza Python para calcular el primer 10000 números, por lo que creo que la afirmación puede ser cierta.

Mis preguntas son muchos...

• Hay una lógica explicación acerca de esto?
• Por qué los 24 números?
• Puede ser demostrado que esta afirmación es verdadera?
• Es 10 que el único número que puede producir esto?

Gracias.

Answer 1

El procedimiento que usted describe, aplicado a $n$, acabados con el resto de $n$ cuando se divide por $9$. Como el resto se comporta bien con respecto a la suma ( $r_9(r_9(a)+r_9(b))=r_9(a+b)$) se puede trabajar siempre con los restos. Es fácil ver que los dos términos consecutivos determinar la secuencia completa y hay un número finito de posibles parejas, por lo que la secuencia tiene que ser periódica.

Esto puede ser explicado fácilmente usando aritmética modular y, en particular, su problema es bien conocido como uno. Ver este artículo.