¿Hay una interpretación de los grupos de cohomología altos en cuanto a extensiones del grupo?

Question

1) Considere un grupo de $G$ $G$- módulo de $A$. Entonces es bien conocido que hay un $1-1$ correspondencia entre

• elementos de $H^2(G,A),$ y
• grupo de extensiones $1\rightarrow A \rightarrow H\rightarrow G \rightarrow 1,$ la inducción de la acción determinada de $G$$A$, el modulo de la equivalencia de las extensiones.

Así que mi pregunta es:

Hay una interpretación similar de la $H^n(G,A)$$n >2$? En particular, los elementos de $H^n(G,A)$ corresponden a la $(n-1)$-extensiones $$1 \rightarrow A \rightarrow H_1 \rightarrow \dots \rightarrow H_{n-1} \rightarrow G \rightarrow 1,$$ nuevo modulo de la obvia de equivalencia? Si no, hay otra interpretación natural?

Soy consciente de que el hecho de que $H^1$ no tiene una interpretación de este tipo probablemente sugiere que la respuesta negativa (sin embargo, en el "análogo" módulo de caso, $\mathrm{Ext}^0$ no corresponde a isomorphisms, pero a homomorphisms en general). Pero yo estaría interesado en otras interpretaciones (en particular, si esta interpretación se generaliza el uno para $H^1$$H^2$). Además, yo no ver si y cómo podría el grop $G$ inducir a una acción en $A$ en el caso de $n$-extensiones.

2) También, desde la $H^2(G, A) \simeq \mathrm{Ext}_{\mathbb{Z}[G]}^{2}(\mathbb{Z}, A)$ y existe una correspondencia entre los elementos de las $\mathrm{Ext}_{\mathbb{Z}[G]}^{n}(\mathbb{Z}, G)$ $2$- extensiones $$0 \rightarrow A \rightarrow H_1 \rightarrow H_{2} \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow 0,$$ así que hay una correspondencia entre las extensiones de $G$ $A$ (con el dado de acción) ad $2$-extensiones de este formulario.

¿Cómo funciona esta correspondencia parece? Y puede ser generalizado para obtener la correspondencia como en 1)?

Gracias de antemano por cualquier ayuda y/o referencias.

Answer 1

Aquí es una interpretación de la $H^{n+1}(G, A)$ por cada $n$: es precisamente (derivados) global de las secciones de la (derivados) sistema local en la clasificación de espacio / Eilenberg-MacLane espacio de $BG \cong K(G, 1)$ dado por la inducida por la acción de $G$$B^{n+1} A \cong K(A, n+1)$.

La razón por la que pudiera cuidado acerca de esto es que para $n \ge 0$ este es el mismo como la clasificación (débil, señaló, conectado) homotopy tipos de $X$ encajen dentro de una secuencia de fibra

$$B^n A \to X \to BG$$

con fija de acción de $\pi_1$ de la base sobre la fibra, y por $n \ge 2$ esto es la misma cosa como la clasificación (débil, señaló, conectado) homotopy tipos de $X$$\pi_1(X) \cong G, \pi_n(X) \cong A$, y con la acción de la $\pi_1(X)$ $\pi_n(X)$ fijo. Para $n = 1$ a recuperarse grupo de extensiones, pero en este caso es anómala, ya que es el único caso donde la fibra y la base tienen homotopy grupos en la misma dimensión, así, mientras que el hormigón es también engañosa.

En un eslogan

grupo superior cohomology resuelve un problema con la extensión de más grupos, la idea de (débil, señaló, conectado) homotopy tipos a través de la homotopy hipótesis.

La topológico de la imagen, es que niza homotopy tipos puede ser descrito como "extensiones iteradas" de Eilenberg-MacLane espacios, con la extensión de los datos que usted necesita para construir un agradable espacio de $X$ fuera de la Eilenberg-MacLane espacios de $B^n \pi_n(X)$ está dada por una secuencia de cohomology clases llamadas de sus invariantes de Postnikov. En el mejor caso (por ejemplo, cuando se $X$ se conecta simplemente a), si todos ellos desaparecen, a continuación, $X$ es homotopy equivalente a $\prod_n B^n \pi_n(X)$, por lo que los invariantes de Postnikov puede ser pensado como una forma de medir el grado en que $X$ falla al ser un producto de Eilenberg-MacLane espacios. En el caso anterior, la clase en la $H^{n+1}(G, A)$ correspondiente a $X$ mide el grado en que $X$ deja de ser un semidirect producto $B^n A \rtimes BG$.

De la categoría de imagen que de la misma manera que los grupos que actúan en conjuntos, los mayores grupos de actuar sobre los objetos en categorías superiores: por ejemplo, las cosas naturales que actúan sobre las categorías no son en sí los grupos 2-grupos, que desde la perspectiva de la homotopy hipótesis puede ser considerado como débil, señaló, conectado) homotopy tipos a la desaparición de los $\pi_n, n \ge 3$. Más grupos puede ser construido fuera de los grupos a partir de datos adicionales relacionados con la coherencia isomorphisms, y que los datos adicionales se lo invariantes de Postnikov son la codificación.

Ejemplo. 2-los grupos pueden también considerarse como particularmente agradable monoidal categorías, y si $X$ es un 2-grupo con $\pi_1(X) \cong G, \pi_2(X) \cong A$ (aquí se $\pi_1(X)$ corresponde al grupo de invertible objetos en $X$ pensado como una categoría monoidal y $\pi_2(X)$ corresponde al grupo de automorfismos de la unidad para la monoidal producto), y se fija la acción de $G$$A$, entonces la única información adicional necesaria para especificar $X$ es un invariantes de Postnikov en $H^3(G, A)$, que resulta, en la categoría de imagen, desde el asociador de la monoidal producto. El pentágono condición de aquí se convierte en el cocycle condición.

Subexample. Donde hacer 2 grupos? Cualquier categoría se ha asociado a un automorphism 2-grupo, pero esto es difícil de calcular en general. Los grupos son, en particular, de un objeto categorías, por lo que cualquier grupo $G$ tiene un automorphism 2-grupo. Su $\pi_1$ es el exterior automorphism grupo $\text{Out}(G)$ e su $\pi_2$ es el centro de la $Z(G)$. La acción de la $\pi_1$ $\pi_2$ es la más obvia. Este 2-el grupo es relevante para la descripción completa del problema con la extensión de los grupos donde el subgrupo normal no es necesario para ser abelian, y en particular el hecho de que sus invariantes de Postnikov no se desvanecen en general es responsable de la obstrucción que viven en $H^3$ mencionó que por anomalía en los comentarios.