Sustitución de límites

Question

¿Cómo funciona exactamente la sustitución de límites?

Veo a menudo respuestas que utilizar la sustitución $t=\frac1x$, luego cambiar $x\rightarrow\infty$ $t\rightarrow0^+$.

He visto esta pregunta, esto parece resolver mi pregunta en el caso finito. ¿Cómo funciona cuando se va a infinito?

Libros que estoy usando no cubren sustituciones, pero parece muy útil.

Answer 1

Para el valor real de la función de $f$ podemos decir que:

$\underset{x\rightarrow \infty}{\text{lim}}f(x) = L \iff$ para todo $\epsilon > 0$ there exists $B > 0$ such that $x>B \implica |f(x) - L| < \epsilon$.

En el otro lado:

$\underset{t\rightarrow 0^+}{\text{lim}}f(\frac{1}{t}) = L^* \iff$ todos los $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $0 < t <\delta \implies |f(\frac{1}{t}) - L^*|< \epsilon$.

Si tenemos la segunda versión, a continuación, dejando $\delta = 1/B$ tenemos que $0 < t < \frac{1}{B} \implies \frac{1}{t} > B \implies |f(\frac{1}{t})-L^*| < \epsilon$.

Si $x = \frac{1}{t}$, podemos reescribir la última parte como $x > B \implies |f(x) - L^*| < \epsilon$ y tenemos la primera versión. Por la singularidad de los límites, $L = L^*$.

Esto demuestra que se puede realizar este cambio de variable, sin ningún problema, y el límite será el mismo, si es que existe.

Answer 2

Desde la otra pregunta no la dirección de la infinte caso, voy a tratar de probar algunos de ellos aquí mismo. Son generalmente muy simple y hay numerosos casos así que no voy a escribir todos aquí.

Lema 1. Supongamos que $\lim_{y\to \pm\infty} f(y)= \ell$ y supongamos que $\lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty$. Supongamos también que el dominio de $f$ es un subconjunto de la gama de $g$. A continuación, $$\lim_{x \to \pm\infty} f(g(x)) = \ell $$

Prueba. Solo hacemos el caso para el infinito positivo. El caso negativo va similiarly.

Sabemos que, para cada $\varepsilon>0$, hay un $K$ tal que para todos los $y>K$ tenemos $|f(y)-\ell|<\varepsilon$.

También, sabemos que, para cualquier $M$, que hay un $\delta$ que si $|x-a|<\delta$,$g(x) > M$.

Ahora tenemos que exista $\delta$ que si $|x-a|<\delta$, $g(x)> K$ e lo $|f(g(x))-\ell|<\varepsilon$. Esto concluye la prueba.

Lema 2. Supongamos que $\lim_{y\to \ell} f(y)= \pm\infty$ y supongamos que $\lim_{x\to a} g(x)=\ell$, sin embargo, $g$ ¿ no alcanzar el valor de $\ell$ en el barrio de $x$. Supongamos también que el dominio de $f$ es un subconjunto de la gama de $g$. A continuación, $$\lim_{x \to a} f(g(x)) = \pm\infty$$

Prueba. Solo hacemos el caso para el infinito positivo. El caso negativo va similiarly.

Sabemos que, para cualquier $M$, que hay un $\delta_1$ que si $|x-\ell|<\delta_1$,$f(x) > M$.

Sabemos que, para cada $\varepsilon>0$, hay un $\delta_2$ que si $|x-a|<\delta_2$ tenemos $|g(x)-\ell|<\varepsilon$.

Por lo tanto, hay un $\delta$ que si $|x-a|<\delta$,$|g(x)-\ell|<\delta_1$, y entonces podemos concluir $f(g(x)) > M$.