Cómo probar $\pi^2>2^\pi$

Question

demostrar que $$\pi^2>2^\pi$$ Utilizo el ordenador encontrado $$\pi^2-2^\pi\approx 1.044\cdots,$$

puede ver este

Lo sé. $$\Longleftrightarrow \dfrac{\ln{\pi}}{\pi}>\dfrac{\ln{2}}{2}$$ así que dejemos $$f(x)=\dfrac{\ln{x}}{x}$$ así que $$f'(x)=\dfrac{1-\ln{x}}{x^2}=0,x=e$$ así que $f(x)$ es estrictamente creciente en $(2,e)$ y es estrictamente decreciente en $(e,3) $ así que no puedo saber $f(2)$ y $f(\pi)$ ¿cuál es más grande?

tal vez este problema exsit tiene métodos fáciles a mano

Answer 1

Sugerencia : $$\frac{\ln 2}{2}=\frac{\ln 4}{4}.$$

Answer 2

En realidad, podemos demostrar $9 > 2^{\pi}$ .

Vamos a probar $\dfrac{9}{8} > 2^{0.16}$ es decir $\left(\dfrac{9}{8}\right)^6 > 2^{0.96}$

Para ver esto demostramos $\left(\dfrac{9}{8}\right)^6 > 2$ que puede verificarse mediante un cálculo directo de bits

Answer 3

Esto es similar a este problema preguntando cuál de $\pi^3$ y $3^\pi$ es mayor. Se puede deducir de las desigualdades

$$3\lt\pi\lt{22\over7}$$

Específicamente,

$$2^{11}=2048\lt2187=3^7\implies2^{22/7}\lt3^2\implies 2^\pi\lt\pi^2$$

Answer 4

Para $n>e$ $f(x)$ -disminuyendo así $ln(\pi)/\pi>ln(4)/4$ pero $ln(4)/4=ln(2)/2$