Me gustaría darle alguna idea general sobre el procedimiento de integración de la clase de los operadores, sólo para tener una idea sobre cómo manejar estos objetos matemáticos (lo que está permitido y lo que no tiene sentido). La clave de las relaciones, los completamente la determinación de su operador, se resumen en (1) a continuación.
En general, si usted tiene una clase de operadores de $\{A(s)\}_{s\in S}$, $A(s) : D \to H$ para algunas dominio común $D \subset H$ ($H$ ser el espacio de Hilbert de la teoría), y con $S$ dado por un conjunto equipado con una medida positiva $\mu$, es posible definir un operador integrado:
$$\int_S A(s) d\mu(s)$$
con los siguientes pasos.
Suponiendo que, para cada $\phi\in D$, el mapa
$$S \ni s \mapsto ||A(s) \phi|| $$
es $\mu$ integrable
y que por cada $\phi\in D$$\psi \in H$, el mapa de $$S \ni s \mapsto \langle \psi | A(s) \phi \rangle$$
es medible, entonces
$$H \times D \ni (\psi,\phi) \mapsto Q(\psi, \phi):= \int_S \langle \psi | A(s) \phi \rangle d\mu(s)\:.$$ está bien definido, ya que
$$|\langle \psi | A(s) \phi \rangle| \leq ||\psi|| ||A(s) \phi||\: $$
Es simplemente demostró que $Q(\cdot, \cdot)$ es lineal en la mano derecha de la ranura y es anti-lineal en el lado izquierdo del uno, además:
$$|Q(\psi, \phi)|\leq C||\psi|| \:.$$
Riesz teorema fácilmente implica que, para cada $\phi\in D$ existe un único vector, indicado por
$$\int_S A(s) \phi d\mu(s)$$
de tal manera que, si $\psi\in H$:
$$Q(\psi, \phi) = \left\langle \psi |\int_S A(s) \phi d\mu(s) \right\rangle \:.$$
Por construcción, ya que $Q$ es derecho-lineal, se encuentra que
$$D \ni \phi \mapsto \int_S A(s) \phi d\mu(s)$$
es lineal, demasiado.
Resumiendo, en muy leve hipótesis, existe un único operador lineal, indica$\int_S A(s) d\mu(s)$, y se definen en $D$, tal que:
$$\left\langle \psi |\int_S Una(s) d\mu(s) \phi \right\rangle
= \left\langle \psi |\int_S Una(s)\phi d\mu(s) \right\rangle
= \int_S \langle \psi | A(s) \phi \rangle d\mu(s)\etiqueta{1}$$
para cada $\phi \in D$$\psi \in H$. A partir de estas identidades puede inducir a algunas de las propiedades de$A(s)$$\int_S A(s) d\mu(s)$. Por ejemplo, si el $A(s)$s son Hermitian $\int_S A(s) d\mu(s)$ es. Si $||A(s)|| <K <+\infty$ algunos $K$ y todos los $s\in S$, $\int_S A(s) d\mu(s)$ es acotado, y así sucesivamente.
En su caso $s=\theta$, espero que todos los operadores implicados dependen $\theta$ (el papel es bastante oscuro para mí en estos detalles), y debe usar (1) para definir la quería operador: sólo Hay un operador de satisfacciones. Obviamente $1/(T+T^\dagger)$ tiene que ser entendida como $(T+T^\dagger)^{-1}$ (inverso del operador).
