Me preguntaba si era posible encontrar $\overrightarrow{a}$ cuando se da que: $$ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c}$$ vectores $\overrightarrow{b}$ y $\overrightarrow{c}$ son conocidos. ¿Cómo puedo expresar vectores $\overrightarrow{a}$ con $\overrightarrow{b}$ y $\overrightarrow{c}$??
Respuestas
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David Quinn
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$\underline{a}$ tendría que ser un vector perpendicular a $\underline{c}$ pero no paralelo a $\underline{b}.$
Por lo tanto tienes que encontrar los parámetros $\lambda$ y $\mu$ para que, por ejemplo $$\underline {a}=\lambda\underline{b}+\mu\underline{b}\times\underline{c}$$ where $\mu\neq0.$
Entonces tenemos %#% $ #% % $ $$\underline{a}\times\underline{b}=(\lambda\underline{b}+\mu\underline{b}\times\underline{c})\times\underline{b}$
Y $$=0+\mu(\underline{c}(b\cdot b)-\underline{b}(b\cdot c))$ puesto que son perpendiculares, así $b\cdot c=0$ está predeterminado y tiene valor $\mu$ $\frac{1}{(b\cdot b)}$ es arbitrario.
Así que mientras que $\lambda$ no es única, se puede encontrar vectores no paralelos específicos $\underline{a}$ y $\underline{b}$
Como se menciona en otra parte, sólo los componentes de $\vec{a}$ perpendicular a $\vec{b}$ puede ser encontrado.
El uso de $$ \vec{a}_\perp = \frac{\vec{b}\times\vec{c}}{\| \vec{b} \|^2} $$
Prueba
Vector de $\vec{a}$ se supone que contiene tanto perpendicular y paralelo de los componentes de a $\vec{b}$ tal que $\vec{a} = \vec{a}_\parallel + \vec{a}_\perp$.
Ahora forman $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$
$$ \vec{c} = (\vec{a}_\parallel + \vec{a}_\perp) \times \vec{b} $$
y el uso de la fórmula anterior
$$ \vec{c} = \left(\vec{a}_\parallel + \frac{\vec{b}\times\vec{c}}{\| \vec{b} \|^2}\right) \times \vec{b} $$
Desde $\vec{a}_\parallel$ es paralelo a $\vec{b}$, se destaca que el $\vec{a}_\parallel \times \vec{b} =0 $
$$ \vec{c} = \frac{ (\vec{b}\times\vec{c})\times \vec{b} }{\vec{b} \cdot \vec{b}} = \frac{\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{b} )}{\vec{b} \cdot \vec{b}} = \frac{\vec{c} (\vec{b} \cdot \vec{b}) - \vec{b} (\vec{c}\cdot\vec{b}))}{\vec{b} \cdot \vec{b}} = \vec{c}$$
que es una aplicación de la triple producto vectorial. El de arriba es cierto, ya que $\vec{c}\cdot\vec{b}=0$ con ellos que son perpendiculares uno al otro.
user190080
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En general esto no es posible. Si usted tiene la ecuación $$ \overrightarrow{un} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} \etiqueta{1} $$ para arbitrario $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\in \mathbb{R}^3$ no es siempre posible encontrar un adecuado $\overrightarrow{a}$, simplemente porque es posible que no exista.
Como ya se señaló en la respuesta de @DavidQuinn, el vector resultante $\overrightarrow{c}$ es perpendicular a $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ y, por tanto, a la $\operatorname{span}(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$. Así, por ejemplo, si elegimos $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$, luego $$ \overrightarrow{un} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b} $$ no está aún bien definido (y no necesitamos hablar de una solución para $\overrightarrow{a} $ de cualquier tipo).
Así que vamos a suponer $(1)$ está bien definido, lo que parece ser su intención - entonces, si encontramos una solución, es seguro, no único (@Arthur ya se señaló). Esto es debido a que el siguiente tiene $$ \overrightarrow{un} \times (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{un} \times \overrightarrow{b})+(\overrightarrow{un} \times \overrightarrow{c}) $$ Así que supongamos que hemos encontrado $\overrightarrow{a}$ que resuelve $(1)$, entonces, simplemente puede añadir cualquier a $\overrightarrow{b}$ paralelo vector $\overrightarrow{d}$ $(1)$ todavía se mantienen, porque $$ (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{d}) \times \overrightarrow{b} = (\overrightarrow{un} \times \overrightarrow{b})+(\overrightarrow{d} \times \overrightarrow{b})=(\overrightarrow{un} \times \overrightarrow{b})+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{c} $$ Por desgracia, yo no soy consciente de que un algoritmo que permitiría nos da una solución a $\overrightarrow{a}$ en el primer lugar.
anomaly
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Asumir $b, c\not = 0$. Tenga en cuenta primero que debemos tener $(a, c), (b, c) = 0$. Elegir un vector $b'$ ortogonal a $b$ y $c$ y escribir $a = \alpha b + \alpha' b'$. $a\times b = \alpha' (b\times b')$; y puesto que $b, b', c$ son pares ortogonales, tenemos $b'\times b = \beta c$ $c\not = 0$ constante. Así determina $\beta$ $\alpha'$ y $\alpha$ es arbitrario. Específicamente, $b' = b\times c$, tenemos $b'\times b = |b|^2 c$ y $\alpha' = |b|^{-2}$.
OneTwo
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La pregunta es fácil de responder utilizando álgebra geométrica (GA). Permítanme en primer lugar el estado de la respuesta (que por supuesto es el mismo que alcanzó en la respuesta por ja72) para despertar su interés: $$ a = \frac{1} {b^2}(\alpha b - c \times b) $$ donde $\alpha$ es un número real arbitrario, y $b$ debe ser ortogonal a $c$ en orden para que el problema sea bien planteado. Esto es fácil de comprobar mediante el vector triple producto, como ja72 la respuesta de la muestra.
Ahora, ¿cómo hace uno para conseguir esto utilizando el álgebra geométrica? Hay varias buenas introducciones a GA en línea, así que no voy a escribir una nueva aquí, pero voy a proporcionar algunos enlaces al final del post. Ahora, suponiendo que los conceptos básicos se entiende, que de inmediato se puede traducir el problema en términos de la cuña del producto y el doble, el uso de la relación $$ a\times b = a\wedge b I^{-1}, $$ donde $I$ es el pseudoscalar en el espacio 3D, y $I^{-1} = -I$ es su inverso con respecto a la geometría del producto. Esto nos da: $$ un \wedge b = c I. $$ El producto interior producto de $a$ $b$ es algún número real, decir $a \cdot b = \alpha$. Vamos a añadir esto a la cuña de producto a obtener $$ a\cdot b + a\wedge b = ab = \alpha + cI, $$ donde la identidad de la primera es una fórmula fundamental en GA acerca de los productos de vectores.
Puesto que los vectores (GA) tiene un inverso con respecto a la geometría del producto, podemos multiplicar desde la derecha con $b^{-1} = \frac{b}{b^2}$ para obtener $$ a = \left(\alpha + c I\right)b^{-1} = \frac{1}{b^2}\left(\alpha b + cb I\right). $$ El hecho de que $b$ $c$ debe ser ortogonal aparece aquí en la forma de que si no lo están, a continuación, $cb$ tendrá tres componente vectorial, y $a$ no será un vector. Era, por supuesto, también evidente en la primera ecuación nos escribió, ya que el dual de un vector en tres dimensiones es siempre un bivector ortogonal al vector propio.
La fórmula anterior es ya la respuesta, pero vamos a traducir de nuevo a la cruz de la forma del producto a obtener $$ a = \frac{1}{b^2}\left(\alpha b + c\wedge b I^{-1} I I\right) = \frac{1}{b^2}\left(\alpha b - c\times b\right), $$ donde se inserta $I^{-1} I = 1$ para el segundo plazo para obtener el producto cruzado a aparecer, y se utiliza $I^2 = -1$.
Si este tiene usted interesado en el aprendizaje de GA, el artículo de la wikipedia no es un mal lugar para empezar. Aquí algunos enlaces más, a pesar de que ellos son más útiles dependen de lo que su experiencia en las matemáticas:
- Los números imaginarios no son reales
- Apuntes para un curso en la GA
- Un poco más de matemáticas, pero completa, introducción
- El álgebra geométrica de los físicos
Google va a encontrar un montón más fuentes, las cuales de ellos son los mejores para usted depende de su nivel de partida, como ya he mencionado.
