Determinar un estimador consistente, asintótico eficacia relativa

Question

Pregunta:

Deje $X_1,\ldots,X_n$ ser yo.yo.d. como $N(0,\sigma^2)$.

a) Mostrar que $\delta_1 = k \sum_{i=1}^n |X_i|/n$ es un estimador consistente de $\sigma$ si y sólo si $ k = \sqrt{\pi/2}$.

b) Determinar el asintótica eficiencia relativa de las $\delta_1$ con respecto al $\delta_2 = \sqrt{\sum X_i^2/n}$

Intento:

a)

i) Dado $ k = \sqrt{\pi/2}$. Debemos encontrar una varianza que converge a 0.

El cálculo de la varianza de la $\delta_1 $:

$$ \begin{align} & = E\left[ \left(\sqrt{\frac\pi2} \sum_{i=1}^n |X_i|/n\right)-\mu\right]^2 \\[8pt] & = \frac \pi 2 E\left[ \left(\sum_{i=1}^n |X_i|/n\right)-\mu\right]^2 \end{align} $$

Estoy atascado aquí, sin embargo, esto debe venir de:

$$\frac{\pi}{2}\frac{1}{n}\left[\sigma^2 + \frac{2}{\pi}\sigma^2\right]$$

que converge a cero.

ii) Desde el $\delta_1$ converge en probabilidad a $\sigma$, y dado que k debe ser único, k debe ser igual a $\sqrt{\pi/2}$

b) sé que esto implica el Teorema del Límite Central; sin embargo, no soy capaz de pieza de todo el conjunto.

Sé que

$$E(|X_i|) = \int_{-\infty}^\infty |x|\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\exp\left(\frac{-x}{2\sigma^2}\right)\,dx = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sigma$$

y $\operatorname{Var}(|X_i|) = \sigma^2 - \frac{2}{\pi}\sigma^2$

También,

$$\sqrt{n}(\delta_1 - \sigma)\xrightarrow[]{L} N\left(0,\left(\frac{\pi}{2}-1\right)\sigma^2\right)$$

No está seguro de cómo proceder.

Answer 1

Tenga en cuenta: Si $X_1,\ldots,X_n$ son de forma idéntica e independientemente distribuidos, entonces, por la fuerte ley de los grandes números:

$\delta_1 \rightarrow kE|X|$ $E|X|={\sigma}\sqrt{2/\pi}.$ $\delta_1$ convergerán a $\sigma$ fib $ k = \sqrt{\pi/2}$.

Ahora necesitaremos $Var(|X|)=E(X^2)-E^2(|X|)=\sigma^2(1-2/\pi).$

La varianza de $\delta_1 $ puede ser calculada directamente desde $\delta_1$ es una combinación lineal de variables aleatorias independientes. Obtenemos:

$$Var(\delta_1)=k^2\frac{Var(|X|)}n=\frac{\sigma^2}n\left(\frac{\pi}2-1\right).$$

Ahora, por el teorema central del límite:

$\sqrt{n}(\delta_1-\sigma)\to N(0,\frac{\sigma^2(\pi-2)}{2})$

Considere la posibilidad de $\sum X_i^2/n.$ Su expectativa es claramente $\sigma^2$ y $Var(X^2)=E(X^4)-E^2(X^2)=3\sigma^4-\sigma^4=2\sigma^4$

Aplicar la CLT a $\sum X_i^2/n.$

$\sqrt{n}(\sum X_i^2/n-\sigma^2)\to N(0,2\sigma^4)$

Ahora vamos a usar el método delta para encontrar el apropiado CLT para $\delta_2.$ Deje $g(x)=\sqrt{x}.$ El método delta nos permite concluir:

$$\sqrt{n}(\delta_2-g(\sigma^2))\to N(0,2\sigma^4[g'(\sigma^2)]^2) $$

$$\sqrt{n}(\delta_2-\sigma)\to N(0,2\sigma^4/(4\sigma^2)) $$

Así que ahora podemos encontrar la asintótico de la eficiencia relativa, $ARE$ $\delta_1$ $\delta_2.$

$$ARE=\frac{Var(\delta_2)}{Var(\delta_1)}=\frac{\sigma^2/2}{\sigma^2(\pi-2)/2}=\frac{1}{\pi-2}\approx0.87$$

Esto significa que puede utilizar el estimador de $\delta_1$ con un tamaño de muestra $n_1$ o podría utilizar el estimador de $\delta_2$ con un tamaño de muestra $n_2=ARE*n_1$ y obtener la misma precisión de la estimación (para tamaños de muestra grandes).