Recordatorio chino teorema y raíces primitivas

Question

El problema en el que estoy trabajando es "Vamos a $p$ ser un primo tal que $p\equiv 1\pmod{105}$. Demuestran que existen enteros $n, x, y, z$ tal que $p$ no divide $n$$n \equiv 3x^3 \equiv 5y^5 \equiv 7z^7 \pmod p$.

Estoy buscando sugerencias sobre cómo acercarse a este. Creo que quiero configurar una serie de ecuaciones de modo que yo pueda usar el Resto Chino de la teoría de reducirlas a algo que se puede demostrar es solucionable.

También he estado buscando en las raíces primitivas - no es una raíz primitiva, $g$ que genera $\mathbb{Z}_p$, con lo cual tiene una orden de $105k$ para algunos entero $k$, pero aparte de la escritura $x, y, z$ en términos de $g$, no estoy llegando a ningún lado con este.

Mi instinto es tomar $n = 105$, lo que me permitiría reducir a la muestra de 35 tiene una raíz cúbica, de 21 años tiene un quinto de la raíz y 15 tiene un séptimo de la raíz, pero no voy a llegar a ninguna parte con ese enfoque.

Me gustaría mucho agradezco cualquier sugerencia.

Answer 1

Buscamos una solución de la forma $n=3^a5^b7^c$.

Queremos $n$ ser congruente a $3x^3$ modulo $p$. Que hace que $9n$ un cubo perfecto modulo $p$. Si un número es un simple cubo perfecto, entonces es un cubo perfecto modulo $p$. De ello se sigue que, si tomamos $$a\equiv -2\pmod{3},\quad b\equiv 0\pmod{3},\quad c\equiv 0\pmod{3},$$ a continuación, $9\cdot 3^a5^b7^c$ será un cubo perfecto modulo $p$.

Del mismo modo, es suficiente para hacer la $5^4n$ perfecto quinto poder. Que da la congruencias $$a\equiv 0\pmod{5},\quad b\equiv -4\pmod{5},\quad c\equiv 0\pmod{5}.$$ Un análisis similar para $7$ da $$a\equiv 0\pmod{7},\quad b\equiv 0\pmod{5},\quad c\equiv -6\pmod{7}.$$

Tenemos un sistema de $3$ congruencias para cada uno de $a$, $b$, y $c$. No son problemas a resolver.

Nota: El módulo de $p$ jugado en esencia, no de papel, y el Teorema del Resto Chino, a pesar de que en principio, no es realmente necesario. Podemos encontrar otras soluciones mediante el uso de $k^{105}3^a5^b7^c$ con $k$ relativamente primer a $p$.