% De aritmética ordinal $(\omega+1) \cdot \omega$y $\omega \cdot (\omega +1)$

Question

Aquí es donde me encuentro hasta ahora: $(\omega+1) \cdot \omega = \sup\{(\omega +1) \cdot n, n \in \omega\} = \omega^2$

y $\omega \cdot (\omega +1) = \omega \cdot \omega + \omega = \omega^2 + \omega$

Por lo tanto, $((\omega+1) \cdot \omega) \in (\omega \cdot (\omega +1))$

¿Es esto cierto? (Estoy menos seguro de la primera línea)...

Answer 1

Si usted está seguro de la primera línea, ¿por qué no ampliarlo aún más? ¿Qué es $(\omega+1)\cdot n$?

Rápido cálculo le mostrará que es $\omega\cdot n+1$, intuitivamente es apilar $n$ copia de $\omega+1$ uno tras otro, así que los primeros ejemplares de $n-1$ $+1$ de "tragar" y te quedan $\omega\cdot n+1$.

Así que ahora ¿qué es $\sup\{\omega\cdot n+1\mid n\in\omega\}$? Es $\omega^2$, como escribió.