Siempre es posible encontrar una $t>0$, que
$$\int_{0}^{t}|\sum_{k=1}^{n}\cos kx|\,dx<C~~~?$$
donde es independiente del $C$ $n$.
Esta es mi idea:
Sabemos que
\begin{align} \sum_{k=1}^{n}\cos kx&=\frac{\sin(n+\frac{1}{2})x}{2\sin\frac{1}{2}x}-\frac{1}{2}\\ &=\frac{\sin nx \cos\frac{1}{2}x+\cos nx\sin\frac{1}{2}x}{2\sin\frac{1}{2}x}-\frac{1}{2}\\ &=\frac{\sin nx\cos\frac{1}{2}x}{2\sin\frac{1}{2}x}+\frac{\cos nx}{2}-\frac{1}{2} \end {Alinee el} por lo que tenemos\begin{align} \int_{0}^{t}|\sum_{k=1}^{n}\cos kx|\,dx\leq\int_{0}^{t}|\frac{\sin nx\cos\frac{1}{2}x}{2\sin\frac{1}{2}x}|+1\,dt \end {Alinee el} la clave es que, podríamos encontrar una constante $C$(just independent of $n$), que\begin{align} \int_{0}^{t}|\frac{\sin nx\cos\frac{1}{2}x}{2\sin\frac{1}{2}x}|\,dt<C~? \end {alinee el} es una integral impropia. Si $$\lim_{\varepsilon \to 0^+}\int_{\varepsilon}^{t}|\frac{\sin nx\cos\frac{1}{2}x}{2\sin\frac{1}{2}x}|\,dt \to \infty$ $ podría entonces nos encontramos con un intervalo de $[a,b](a>0)$, que $$\int_{a}^{b}|\sum_{k=1}^{n}\cos kx|\,dx<C~~~?$ $
