Supongamos que $F$ es un campo y se supone que $f\in F[x_1,\ldots,x_4]$ es un polinomio que es invariante bajo el grupo de Klein Cuatro $V_4$ . ¿Cómo puedo demostrar que este polinomio se puede reescribir como un polinomio $g$ con coeficientes de polinomios simétricos $s_1,\dots,s_4$ y en las variables $y_1, y_2, y_3$ , donde $$ y_1 = x_1 x_2 + x_3x_4, ~ y_2 = x_1 x_3 + x_2x_4, ~y_3 = x_1 x_4 + x_2x_3, ~~~ $$
así que $f(x_1,x_2,x_3,x_4) = g(y_1, y_2, y_3)$ .
Gracias.
¡Tienes razón! @Edward, creo que la formulación correcta debería requerir los coeficientes de $g$ estar en el campo $F(x_1,...,x_4)^G$ de puntos fijos bajo la acción del grupo $G = S_4$ .
Seguramente hay un método elemental, pero puedes usar algo de teoría de Galois. Estoy siguiendo (de memoria, espero que correctamente) el enfoque de Kaplansky en su Campos y anillos .
Dejemos que $E = F(x_1,...,x_4)$ y $K = F(x_1,...,x_4)^G$ sea el campo fijo bajo $G = S_4$ . Entonces $\operatorname{Gal}(E/K) \cong S_4$ . Tenga en cuenta que $G$ permuta el $y_i$ en las 6 formas posibles. En particular, $h(x) = (x - y_1)(x - y_2)(x - y_3) \in K[x]$ , $L$ es el campo de división de $h(x)$ en $K$ y $\operatorname{Gal}(L/K) \cong S_3$ . Ahora, observe que el grupo Klein cuatro fija cada $y_i$ y la correspondencia de Galois le dirá que $L$ es el campo fijo del grupo de Klein cuatro.
Gracias, @MartinBrandenburg. Estoy bastante seguro de que también vale para los anillos, pero no estoy tan seguro de cómo hacerlo.
@AndreasCaranti un método es el límite de grado de Noether; he publicado una solución completa.
Esto es sólo una idea, demasiado larga para un comentario. Por lo tanto, lo hago CW.
Es bien sabido que $F[x_1,\dotsc,x_n]$ es un módulo libre sobre su subring de polinomios simétricos $F[x_1,\dotsc,x_n]^{S_n}$ . Una base está dada por el $n!$ monomios $T_1^{v_1} \cdot \dotsc \cdot T_n^{v_n}$ con $0 \leq v_i < i$ .
En nuestro caso, $F[x_1,x_2,x_3,x_4]$ es libre en $F[x_1,x_2,x_3,x_4]^{S_4}$ de rango $24$ con base $\{x_2^{v_2} x_3^{v_3} x_4^{v_4} : v_2 \in \{0,1\}, v_3 \in \{0,1,2\}, v_4 \in \{0,1,2,3\}\}$ . Escribe un polinomio arbitrario como
$$p = \sum_{v_2,v_3,v_4} \lambda_{v_2,v_3,v_4} x_2^{v_2} x_3^{v_3} x_4^{v_4}$$
con polinomios simétricos $\lambda_{v_2,v_3,v_4}$ . Entonces $p$ se fija en $V_4 = \langle (1 2)(3 4), (1 3)(2 4) \rangle$ si tenemos las dos ecuaciones siguientes:
$$(1) ~~~~ \sum_{v_2,v_3,v_4} \lambda_{v_2,v_3,v_4} x_2^{v_2} x_3^{v_3} x_4^{v_4} = \sum_{v_2,v_3,v_4} \lambda_{v_2,v_3,v_4} x_1^{v_2} x_4^{v_3} x_3^{v_4}$$
$$(2) ~~~~ \sum_{v_2,v_3,v_4} \lambda_{v_2,v_3,v_4} x_2^{v_2} x_3^{v_3} x_4^{v_4} = \sum_{v_2,v_3,v_4} \lambda_{v_2,v_3,v_4} x_4^{v_2} x_1^{v_3} x_2^{v_4}$$
En la primera ecuación, escribe $\lambda_{v_2,v_3,v_4} x_1^{v_2}$ en la base. Después se pueden comparar los coeficientes y se obtiene un sistema de ecuaciones para el $\lambda$ 's. De manera similar para las segundas ecuaciones. Uno de alguna manera tiene que resolver este ...
Intenté hacer que esto funcionara y me quedé atascado en el hecho de que no vi cómo extraer una representación en términos de los generadores proferidos por el OP de las condiciones que estas ecuaciones imponen al $\lambda$ 's. Sin embargo, he dado una solución completa a continuación en términos del límite de grado de Noether.
Si la característica de $F$ no es 2, aquí hay una solución:
El Límite de grado de Noether nos dice que el anillo invariante de $V_4$ se genera como un álgebra por los invariantes homogéneos de grado $\leq 4 = |V_4|$ . No es difícil enumerar todos estos invariantes simplemente sumando sobre las órbitas de $V_4$ en el conjunto de monomios:
Grado 1: Desde $V_4$ actúa de forma transitoria, $x_1+\dots+x_4$ es decir, el polinomio simétrico elemental $s_1$ es el único.
Grado 2: Tenemos $f_2 = x_1^2 + \dots + x_4^2$ (Utilizaré $f_k$ para denotar el $k$ suma de potencias), y las tres invariantes $y_1, y_2, y_3$ que has mencionado.
Grado 3: $f_3$ ; $s_3$ y tres invariantes que parecen $x_1^2x_2 + x_1x_2^2 + x_3^2x_4 + x_3x_4^2$ (conjugado hasta alguna permutación de $1,2,3,4$ ).
Grado 4: $f_4$ ; $s_4$ tres invariantes que se parecen a $x_1^2x_3x_4 + x_2^2x_3x_4 + x_1x_2x_3^2 + x_1x_2x_4^2$ tres más que se parecen a $x_1^3x_2 + x_1x_2^3 + x_3^3x_4+x_3x_4^3$ ; y finalmente tres que parecen $x_1^2x_2^2 + x_3^2x_4^2$ .
(En cada grado $d$ se obtiene una clase de conjugación de invariantes para cada partición de $d$ correspondientes a los exponentes de los monomios. Por ejemplo, el invariante $x_1^2+x_2^2+x_3^2x_4^2$ y sus conjugados corresponden a la partición $4=2+2$ .)
En cualquier caso, esta es una lista completa de generadores por el límite de Noether, por lo que el problema se reduce al cálculo finito de demostrar que $s_1,\dots,s_4$ y $y_1,y_2,y_3$ generar todo en esta lista. De hecho, $f_2,f_3,f_4$ son atendidos por el teorema fundamental de los polinomios simétricos y el resto son un ejercicio divertido.
Al hacer el pset de Tschinkel un par de años encontré esta estrategia asesina para encontrar el anillo de invariantes simplemente usando que el campo de funciones racionales por el campo de invariantes es Galois, y luego usando la integralidad para obtener el resultado para los anillos de invariantes.
@user142843 - No creo que eso funcione a menos que sepas por alguna razón que el anillo que postulas como anillo invariante es integralmente cerrado. Por ejemplo puedes argumentar que $k[s_1,\dots,s_n] = k[x_1,\dots,x_n]^{S_n}$ (donde $s_i$ son los elem. sim. poli como en el OP) porque $k(s_1,\dots,s_n) = k(x_1,\dots,x_n)^{S_n}$ por Galois, y por tanto $k[x_1,\dots,x_n]^{S_n}\subset k(s_1,\dots,s_n)$ y mientras tanto $k[x_1,\dots,x_n]^{S_n}\subset k[x_1,\dots,x_n]$ es integral sobre $k[s_1,\dots,s_n]$ Así que, como $k[s_1,\dots,s_n]$ ya está cerrado integralmente hemos terminado. Sin embargo:
En el presente caso necesitaríamos saber que $k[s_1,\dots,s_n][y_1,y_2,y_3]$ está integralmente cerrado para aplicar el mismo argumento. No me sorprendería que lo fuera, pero ¿cómo lo argumentarías?
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Suponiendo que $F$ no tiene la característica $2$ , cambie las variables a $u_{++} = x_1+x_2+x_3+x_4$ , $u_{+-} = x_1+x_2-x_3-x_4$ , $u_{-+} = x_1-x_2+x_3-x_4$ , $u_{--} = x_1-x_2-x_3+x_4$ . Entonces la acción simplemente multiplica el $u$ por personajes de $V_4$ y es obvio que el anillo invariante es $F[u_{++}, u_{+-}^2, u_{-+}^2, u_{--}^2]$ .