¿El inverso del teorema de Tychonoff?

Question

Supongamos que, en un espacio topológico $(X, \mathscr{T})$ es compacto, y la cardinalidad de a$X$$2^\kappa$. Hay un espacio compacto $A$ con la cardinalidad de no más de $2^\kappa$, de tal manera que $A^\kappa$ con el producto de la topología $\mathscr{T'}$coinciden con $(X, \mathscr{T})$? En otras palabras, Podría $(X, \mathscr{T})$ ser homeomórficos a $(A^\kappa, \mathscr{T'})$?

Agregado: Como se señaló en Ittay de Weiss y Nate Eldredge respuestas, la respuesta es negativa cuando la $\kappa$ es finito y al $(X, \mathscr{T})$ contiene un punto aislado. Estoy interesado en la condición de que guarentees la homeomorphism existe. En particular, estoy interesado en el caso de $\kappa$ es infinito, y no hay punto aislado de a $(X, \mathscr{T})$, dicen, el intervalo cerrado con la topología usual.

Answer 1

Si $A$ contiene al menos dos puntos y $\kappa$ es infinito, entonces es fácil ver que cada conjunto abierto en $A^\kappa$ es infinito; en particular, $A^\kappa$ no tiene puntos aislados. Pero, por supuesto, se puede construir un espacio compacto de cardinalidad $2^\kappa$ que no tiene puntos aislados; por ejemplo, la inconexión de la unión de $\{0,1\}^\kappa$ (con su producto topología) y un punto adicional. Por lo tanto, un espacio de este tipo no puede ser homeomórficos a $A^\kappa$ cualquier $A$.

Con respecto al caso de $X = [0,1]$: no es homeomórficos a cualquier producto $A^\kappa$. Supongamos que se fueron. Desde $A$ es la imagen continua de $X$ bajo las coordenadas de los mapas, $A$ es compacto y conectado. $A$ es también homeomórficos a un subconjunto de a $X$ bajo cualquier mapa como $x \mapsto (x, x_0, x_0, \dots)$. Pero el único compacto conectado subconjuntos de a $[0,1]$ están: el conjunto vacío, singleton, y cerró los intervalos. El primero de los dos casos, son absurdas, y es fácil ver que $[0,1]$ no es homeomórficos a $[0,1]^\kappa$ cualquier $\kappa > 1$, ya que el $[0,1]^\kappa$ permanece conectado cuando se eliminan.

Supongo que uno se podría preguntar por condiciones necesarias y suficientes para un espacio compacto $X$ a ser homeomórficos a un producto. No sé lo que podría ser.

Answer 2

La respuesta es no. Muy simple contador de ejemplos que pueden ser construidos de la siguiente manera. Considerar el cardenal $4=2^2$. Cada finito topológica del espacio es compacto. Hay cuatro topologías en un conjunto con dos elementos. Eso significa que hay en la mayoría de las $4$ espacios de cardinalidad $4$ que son de la forma $A^2$ algunos $2$-punto de espacio $A$. Sin embargo, hay 355 distintas topologías en una de cuatro puntos de set. Así, que sin duda muchos de $4$-conjunto de topologías no son de la forma $A^2$ cualquier $2$-ajuste de la topología $A$. (Tenga en cuenta que la relajación de la cuestión aquí a $X$ al ser un producto hasta homeomorphism o incluso homotopy es todavía respuesta negativa similar a la de contar el argumento.)

Infinito contraejemplos, aquí es una topología algebraica argumento. Es bien sabido que para cualquier finitely generado grupo $G$ existe un compacto CW-espacio de $X$ cuyo grupo fundamental de la es $G$. El grupo fundamental de la functor aspectos arbitrarios productos: $\pi_1(\prod Xi)\cong \prod\pi_1(X_i)$. Así, ahora se acaba de tomar $G$ a ser no trivial simple grupo. Si el correspondiente $X$ sería un producto de $\kappa$ muchos espacios de $G$ sería un no-trivial producto y por lo tanto no es sencillo.

Answer 3

Suponga que $X$ es infinito. Si $X$ es homeomórficos a $Y^\kappa$ para algunos infinito $\kappa$,$X\cong Y^\omega\times Y^\kappa$, e $Y^\omega$ tiene cardinalidad, al menos,$2^\omega$. Para cada una de las $y\in Y^\omega$ deje $X_y=\{y\}\times Y^\kappa$; a continuación,$X_y\cong X$, lo $\{X_y:y\in Y^\omega\}$ es una partición de a $X$ a $|Y|^\omega$ cerrado subconjuntos homeomórficos a $X$.

Ahora vamos a $\kappa$ ser cualquier infinita cardenal. Sin embargo, $Y=\{0,1\}^\kappa$ con el producto de la topología, donde $\{0,1\}$ es discreto, vamos a $D_\kappa$ ser un espacio discreto de cardinalidad $2^\kappa$, vamos a $X=D_\kappa\times Y$, y deje $X^*$ ser el único punto de compactification de $X$. A continuación, $X^*$ es un compacto Hausdorff espacio de cardinalidad $2^\kappa$ sin puntos aislados, y el punto en el infinito es el único punto de $X^*$ cuyo carácter (es decir, la cardinalidad mínima de un local de base) es $2^\kappa$, lo $X^*$ no contiene hasta dos subespacios homeomórficos a sí mismo. En particular, $X$ no es homeomórficos a $Z^\kappa$ para cualquier espacio de $Z$.