Demostrar $\int_{0}^{\pi/2} x\csc^2(x)\arctan \left(\alpha \tan x\right)\, dx = \frac{\pi}{2}\left[\ln\frac{(1+\alpha)^{1+\alpha}}{\alpha^\alpha}\right]$

Question

Cuando se lo mostré a mi hermano como he demostrado \begin{equation} \int_{0}^{\!\Large \frac{\pi}{2}} \ln \left(x^{2} + \ln^2\cos x\right) \, \mathrm{d}x=\pi\ln\ln2 \end{equation} mediante el siguiente teorema por el Señor Olivier Oloa \begin{equation}{\large\int_{0}^{\!\Large \frac{\pi}{2}}} \frac{\cos \left(\! s \arctan \left(-\frac{x}{\ln \cos x}\right)\right)}{(x^2+\ln^2\! \cos x)^{\Large\frac{s}{2}}}\, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}\frac{1}{\ln^{\Large s}\!2}\qquad,\;\text{for }-1<s<1.\end{equation} Él me mostró la siguiente fórmula interesante

\begin{equation} \int_{0}^{\!\Large \frac{\pi}{2}} x\csc^2(x)\arctan \left(\! \alpha \tan x\right)\, \mathrm{d}x =\frac{\pi}{2}\, \ln\left(\left[1 + \alpha\right]^{1 + \alpha} \over \alpha^\alpha\right)\,,\qquad \mbox{for}\ \alpha > 0\tag{✪}. \end{equation}

He intentado varios valores de $\alpha$ a comprobar su validez (ya que él siempre se mete conmigo) y los resultados numéricos que coincida con la salida de Mathematica $9$. El problema es cómo probar esta fórmula, ya que a mí no me dijo (como siempre). Traté de Feynman de la integración truco y yo llegamos al siguiente resultado: \begin{equation}\partial_\alpha\int_{0}^{\!\Large \frac{\pi}{2}} x\csc^2(x)\arctan \left(\! \alpha \tan x\right)\, \mathrm{d}x = \int_{0}^{\!\Large \frac{\pi}{2}} \frac{x\cot x}{\cos^2x+\alpha^2 \sin^2 x}\, \mathrm{d}x\end{equation} pero estoy teniendo dificultades para romper la última integral. Podría alguien, por favor me ayudan a demostrar la fórmula de $(✪)$ preferiblemente con formas elementales (escuela secundaria de métodos)? Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Este enfoque es similar a Ron Gordon respuesta. Se introduce una nueva variable $\beta$ antes de la diferenciación.

Por sustitución de $\tan x=u$, $$\int_{0}^{\!\Large \frac{\pi}{2}} x\csc^2(x)\arctan \left(\! \alpha \tan x\right)\, \mathrm{d}x=\int_{0}^{\infty}\frac{\tan^{-1}u\tan^{-1}\alpha u}{u^2}\,\mathrm{d}u$$

Vamos a probar a $$\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}\alpha u\tan^{-1}\beta u}{u^2}\,\mathrm{d}u=\frac\pi2\log\left(\frac{(\alpha+\beta)^{\alpha+\beta}}{\alpha^\alpha\beta^\beta}\right)\tag{1}$$

La diferenciación da \begin{align}\partial_\alpha\partial_\beta\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}\alpha u\tan^{-1}\beta u}{u^2}\,\mathrm{d}u&=\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}u}{(1+\alpha^2 u^2)(1+\beta^2 u^2)}\\&=\frac1{\alpha^2-\beta^2}\int_{0}^{\infty}\frac{\alpha^2}{1+\alpha^2u^2}-\frac{\beta^2}{1+\beta^2u^2}\,\mathrm{d}u\\&=\frac1{\alpha^2-\beta^2}\int_{0}^{\infty}\frac{\alpha}{1+u^2}-\frac{\beta}{1+u^2}\,\mathrm{d}u\\&=\frac\pi{2(\alpha+\beta)}\end{align} para $\alpha\ne\beta$. El caso de $\alpha=\beta$ puede ser probado por dejar a $\alpha\to\beta$. Entonces $$\partial_\beta\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}\alpha u\tan^{-1}\beta u}{u^2}\,\mathrm{d}u=\frac{\pi}{2}(\log(\alpha+\beta)-C_1(\beta))$$ If $\alpha\to0$ we have $0=\frac\pi2(\log\beta-C_1(\beta))$ so $C_1(\beta)=\log\beta$. Integrating by $\beta$,$$\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}\alpha u\tan^{-1}\beta u}{u^2}\,\mathrm{d}u=\frac{\pi}{2}((\alpha+\beta)\log(\alpha+\beta)-\beta\log\beta-C_2(\alpha))$$ Let $\beta\to0$ and we find $C_2(\alpha)=\alpha\log\alpha$. Thus $(1)$ is proven and putting $\beta=1$ gives the conclusion $$\int_{0}^{\!\Large \frac{\pi}{2}} x\csc^2(x)\arctan \left(\! \alpha \tan x\right)\, \mathrm{d}x=\frac\pi2\log\left(\frac{(\alpha+1)^{\alpha+1}}{\alpha^\alpha}\right)$$

Answer 2

Esta integral se puede hacer mediante la observación de los siguientes: Vamos a

$$I(\alpha) = \int_0^{\pi/2} dx \, x\, \csc^2{x} \, \arctan{\left ( \alpha \tan{x}\right)} $$

A continuación, $I(\alpha)$ satisface la ecuación diferencial

$$\begin{align}\frac{d}{d\alpha}\left ( \frac{I(\alpha)}{\alpha} \right ) &= -\frac1{\alpha^2} \int_0^{\pi/2} dx \frac{\arctan{\left (\alpha \tan{x} \right )}}{\tan{x}} \\ &= -\frac1{\alpha^2} \int_0^{\infty} du \frac{\arctan{\alpha u}}{u (1+u^2)} \\ &= -\frac1{\alpha^2} J(\alpha)\end{align}$$

Uno puede demostrar mediante la integración de la original de la integral por partes, por un lado, y la diferenciación con respecto a $\alpha$ sobre el otro.

La integral en el lado derecho puede ser evaluado por, de nuevo, la diferenciación con respecto a $\alpha$ como sigue:

$$\begin{align} J'(\alpha) &= \int_0^{\infty} \frac{du}{(1+u^2) (1+\alpha^2 u^2)}\end{align}$$

Esta integral se puede hacer fácilmente usando fracciones parciales; el resultado es

$$J'(\alpha) = \frac{\pi}{2} \frac1{1+\alpha}$$

lo que implica que

$$J(\alpha) = \frac{\pi}{2} \log{(1+\alpha)}$$

debido a $J(0)=0$. Ahora estamos a la izquierda para resolver

$$\frac{d}{d\alpha}\left ( \frac{I(\alpha)}{\alpha} \right ) = -\frac{\pi}{2} \frac{\log{(1+\alpha)}}{\alpha^2}$$

Esto se reduce a una simple integración por partes, el resultado de la cual es

$$I(\alpha) = \frac{\pi}{2} \left [(1+\alpha) \log{(1+\alpha)} - \alpha \log{\alpha} \right ] + C \alpha $$

Ahora sólo tenemos que mostrar que $C=0$. Esto es equivalente a mostrar que la

$$\int_0^{\pi/2} dx \frac{x^2}{\sin^2{x}} = \pi \log{2} $$

que de hecho es cierto, ya que la integral puede ser demostrado, mediante la integración por partes, para ser

$$-2 \int_0^{\pi/2} dx \log{\sin{x}} = -\int_0^{\pi} dx \log{\sin{x}}$$

que es, de hecho,$\pi \log{2}$.

ANEXO

Esta última integral de hecho, puede ser realizada por métodos de primaria. Por ejemplo, considere la posibilidad de que

$$\begin{align}\int_0^{\pi} dx \log{\sin{x}} &= 2 \int_0^{\pi/2} dx \, \log{\sin{2 x}} \\ &= 2 \int_0^{\pi/2} dx \, \log{(2 \sin{x} \cos{x})} \\ &= \pi \log{2} + 2 \int_0^{\pi/2} dx \, \log{\sin{x}} + 2 \int_0^{\pi/2} dx \, \log{\cos{x}} \\&= \pi \log{2} + 4 \int_0^{\pi/2} dx \, \log{\sin{x}} \\&= \pi \log{2} + 2 \int_0^{\pi} dx \, \log{\sin{x}}\end{align}$$

Un simple reordenamiento demuestra el resultado.

Answer 3

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} 1-(1-\alpha^2)\sin^2(x) &=1+(1-\alpha^2)\frac{e^{2ix}-2+e^{-2ix}}{4}\\ &=\frac{1-\alpha^2}4\left[e^{2ix}+2\frac{1+\alpha^2}{1-\alpha^2}+e^{-2ix}\right]\\ &=\frac{1-\alpha^2}4e^{-2ix}\left[e^{2ix}+\frac{1+\alpha}{1-\alpha}\right]\left[e^{2ix}+\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\right]\\ &=\frac{(1+\alpha)^2}4\left[1+\frac{1-\alpha}{1+\alpha}e^{2ix}\right]\left[1+\frac{1-\alpha}{1+\alpha}e^{-2ix}\right]\tag{1} \end{align} $$ Tomando $\frac12$ del registro de $(1)$ rendimientos $$ \frac12\log\left(1-(1-\alpha^2)\sin^2(x)\right) =\log\left(\frac{\alpha+1}2\right)-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{\alpha-1}{\alpha+1}\right)^n\frac{\cos(2nx)}n\tag{2} $$ Restando $\log(\alpha)$ $(2)$ y el envío de $\alpha\to\infty$ da $$ \log(\sin(x))=-\log(2)-\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(2nx)}n\etiqueta{3} $$ Ahora, estamos listos para hacer frente a la integral dada. Tomando la derivada, utilizando fracciones parciales, integrando por partes, luego de aplicar el $(2)$$(3)$, los rendimientos de los $$ \begin{align} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_0^{\pi/2}x\csc^2(x)\arctan(\alpha\tan(x))\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^{\pi/2}\frac{x}{\sin(x)}\frac{1}{1-(1-\alpha^2)\sin^2(x)}\,\mathrm{d}\sin(x)\tag{4a}\\ &=\int_0^{\pi/2}\left[\frac1{\sin(x)}-\frac{\raise{5mu}{\frac12}\sqrt{1-\alpha^2}}{1+\sqrt{1-\alpha^2}\sin(x)}+\frac{\raise{5mu}{\frac12}\sqrt{1-\alpha^2}}{1-\sqrt{1-\alpha^2}\sin(x)}\right]x\,\mathrm{d}\sin(x)\tag{4b}\\ &=\int_0^{\pi/2}x\,\mathrm{d}\left[\log(\sin(x))-\tfrac12\log\left(1-(1-\alpha^2)\sin^2(x)\right)\right]\tag{4c}\\ &=-\frac\pi2\log(\alpha)-\int_0^{\pi/2}\left[\log(\sin(x))-\tfrac12\log\left(1-(1-\alpha^2)\sin^2(x)\right)\right]\mathrm{d}x\tag{4d}\\ &=-\frac\pi2\log(\alpha)+\frac\pi2\log(2)+\frac\pi2\log\left(\frac{\alpha+1}2\right)\tag{4e}\\ &=\frac\pi2\log\left(\frac{\alpha+1}\alpha\right)\tag{4} \end{align} $$ Explicación:
$\mathrm{(4a)}$: diferenciar con respecto a $\alpha$
$\mathrm{(4b)}$: fracciones parciales
$\mathrm{(4c)}$: preparar a integrar por partes
$\mathrm{(4d)}$: integrar por partes
$\mathrm{(4e)}$: aplicar $(2)$ $(3)$ señalando que $\int_0^{\pi/2}\frac{\cos(2nx)}{n}\,\mathrm{d}x=\left[\frac{\sin(2nx)}{2n^2}\right]_0^{\pi/2}=0$

La integración de $(4)$ da $$ \int_0^{\pi/2}x\csc^2(x)\arctan(\alpha\tan(x))\,\mathrm{d}x =\frac\pi2\log\left(\frac{(\alpha+1)^{\alpha+1}}{\alpha^\alpha}\right)\etiqueta{5} $$