Esto podría ser bien conocida, pero no puedo venir para arriba con una rigurosa prueba. Yo quiero probar la densidad de $C^\infty(\mathbb{R}^n)$ en las funciones continuas $C^0(\mathbb{R}^n)$ en el siguiente sentido: dada una función continua $f$, quiero seleccionar una función suave $g$ tal que $\sup |f - g|$ es tan pequeño como queramos. Todos los trucos que se me ocurre de lidiar con una compacta configuración, o funciones continuas de fuga en el infinito. Gracias!
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Shalop
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Deje $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ ser continua.
Seleccione una partición de la unidad $\{\phi_k\}_{k=1}^{\infty}$ $\mathbb{R}^n$ que está subordinada a algunas localmente finito de la familia $\{U_k\}_{k=1}^{\infty}$ de precompact abrir establece que cubre $\mathbb{R}^n$.
Deje $\epsilon>0$. A continuación, para todos los $k$, existe un $C^{\infty}$ función de $g_k$ tal que $\sup_{x \in \text{supp } \phi_k} |f(x)-g_k(x)|<\epsilon\cdot 2^{-k}$ (podemos hacer esto porque el apoyo de los $\phi_k$ es compacto para todas las $k$, y sabemos que es verdad en el caso compacto).
Deje $g = \sum_k g_k\phi_k$. A continuación,$g$$C^{\infty}$, debido a que a nivel local se lo finito suma de $C^{\infty}$ funciones.
Desde $\sum_k \phi_k=1$, tenemos que para todos los $x \in \mathbb{R}^n$,
$$|f(x)-g(x)| = \bigg|\sum_k f(x)\phi_k(x) - g_k(x)\phi_k(x)\bigg| \leq \sum_k |f(x)-g_k(x)|\cdot |\phi_k(x)| \leq \sum_k \epsilon \cdot 2^{-k} = \epsilon$$ Thus $\sup_{x \in \mathbb{R}^n} |f(x)-g(x)|\leq \epsilon$ and $g$ is $C^{\infty}$, como se desee.
En realidad, esto debería funcionar en cualquier colector (no sólo de $\mathbb{R}^n$), pienso.
