Me gustaría saber si $\Bbb C^* \times \Bbb Z$ es isomorfo (como un grupo abelian) a un subgrupo de $\Bbb C^*$.
Por supuesto, no son isomorfos: uno es divisible, mientras que la otra no. No podemos aplicar alguna versión de Cantor-Schröder-Bernstein, porque es malo para la categoría de abelian grupos (ver ex. 3.1. aquí). Sé que $\Bbb C^* \cong S^1 \times \Bbb R_+^* \cong \Bbb R/\Bbb Z \times \Bbb R$, y que una de morfismos $f : \Bbb C^* \times \Bbb Z \to \Bbb C^*$ está determinado por $f(a,1)$$f(a,0)$$a \in \Bbb C^*$, desde
$$f(re^{i\theta};n) = f(\sqrt[n]{r}e^{i\theta/n}\,;1)^n \qquad (n \geq 1)$$
Pero no sé cómo ir más allá, incluso si mi problema puede ser muy fácil.
Muchas gracias por su ayuda.
Respuestas
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Ver $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$. Desde $\dim_{\mathbb{Q}} \mathbb{R} = \mathfrak{c}$, se deduce que hay un $\mathbb{Q}$-espacio vectorial isomorfismo $\mathbb{R}\times \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$. Así tenemos una inyectiva grupo homomorphism $\mathbb{R}\times \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{R}$. Esto induce una inyectiva grupo homomorphism
$$S^1 \times \mathbb{R} \times \mathbb{Z} \hookrightarrow S^1 \times \mathbb{R}.$$
laleh8798
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Aquí es una prueba de una variante de la pregunta. Yo siento que esto sería beneficioso. En esencia, esto es lo mismo que Daniel Fischer respuesta. Pero más explícito para este caso.
Voy a probar esto: Denota por $\mathbf{Q}_{>0}$ el grupo de los números racionales positivos (para la multiplicación) nos mostrará $\mathbf{Q}_{>0} $ es isomorfo a $\mathbf{Q}_{>0}\times \mathbf{Z}$.
Teorema Fundamental de la aritmética puede ser interpretado como decir que los números racionales positivos crear un grupo abelian con el conjunto de los números primos como base.
Así que un bijection de esta base $\{2,3,5,7,11,\ldots\}$ a un agrandamiento de la base $\{t ,2,3,5,7,11,\ldots\}$ $\mathbf{Q}_{>0}\times \mathbf{Z}$ da el isomorfismo queremos.
(Creo que sería posible adaptar esta prueba para dar una prueba de lo que se le pregunte).
