Cadena de Markov, matriz de transición y forma Jordan

Question

Si tengo una matriz de transición $$P= \begin{bmatrix} \frac12 & \frac14 & \frac14 \\ 0 & \frac12 & \frac12 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Sé que no es diagonalizable, así que si quiero calcular $P^n$ tengo que usar la forma normal de jordan. Mi profesor dijo que podemos escribir $P^n=UD^nU^{-1}$ donde $$D^n= \begin{bmatrix} \frac1{2^n} & 2n\frac1{2^n} & 0 \\ 0 & \frac1{2^n} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ No entiendo cómo puedo calcular $D^n$ . Después de eso , sé que el elemento $P^{(n)}_{ij}=\alpha_1\lambda_1+...+\alpha_n\lambda_n$ si los valores propios tienen molteplicidad geométrica igual a 1, pero aquí por ejemplo el profesor escribe: i.e. $$P^{(n)}_{ij}=\alpha\frac{1}{2^n}+\beta\frac{1}{2^n}2n+\gamma$$ ¿Por qué?

Answer 1

El resultado es fácil de demostrar por inducción una vez que te lo han mostrado, así que vamos a centrarnos en cómo encontrar estas potencias por tu cuenta. El sentido de la Forma Normal de Jordan de una matriz cuadrada se revela claramente por su interpretación geométrica. Cada uno de sus bloques, de dimensiones $k\times k$ corresponde a un subespacio en el que la matriz actúa como un endomorfismo . En cada uno de estos subespacios es la suma de a homothety $\lambda \mathbb{I}_k$ y un transformación nilpotente $N$ . Además, está dispuesto de tal manera que una base $(e_1, e_2, \ldots, e_k)$ en el que $$N:e_{j+1}\to e_j\tag{*}$$ para $j=1, 2, \ldots, k-1$ y $N(e_1)=0$ . Porque $\lambda\mathbb{I}_k$ conmuta con $N$ Esto facilita la búsqueda de potencias de $D = \lambda\mathbb{I}_k + N$ ya que

1. Aplicación repetida de $(*)$ muestra inmediatamente que para $i \ge 1$ , $N^i(e_{j+i}) = e_j$ para $j=1, 2, \ldots, k-i$ y $N^i(e_j) = 0$ para $j \le i$ y

2. En Teorema del Binomio afirma $$(\lambda \mathbb{I}_k + N)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \lambda^{n-i} N^i.$$

(1) garantiza que $N^k = N^{k+1} = \cdots = 0$ : eso es lo que significa ser nilpotente y es la razón por la que esta forma es tan conveniente.

En el ejemplo $D$ tiene dos bloques de dimensiones $2$ y $1$ . En $k=1$ actúa trivialmente. El $k=2$ bloque tiene $\lambda=1/2$ . Su matriz en la base $(e_1, e_2)$ por lo tanto es $$D_2 = \pmatrix{\frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\pmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1} + \pmatrix{0 & 1 \\ 0 & 0} = \frac{1}{2}\mathbb{I}_2 + N.$$

En consecuencia $N^2 = 0$ por lo que para cualquier potencia integral positiva $n$ ,

$$D_2^n =\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-i} N^i = \left(\frac{1}{2}\right)^n + \binom{n}{1} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} N + 0 + 0 + \cdots + 0.$$

En cuanto a la base $(e_1, e_2)$ la matriz de $D_2^n$ por lo tanto es

$$D_2^n = \frac{1}{2^n}\pmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1} + \binom{n}{1}\frac{1}{2^{n-1}}\pmatrix{0 & 1 \\ 0 & 0} = \pmatrix{\frac{1}{2^n} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2^n}} + \pmatrix{0 & n \frac{1}{2^{n-1}} \\ 0 & 0}.$$

Eso es algebraicamente equivalente a la fórmula de la pregunta.