Por qué representar un número complejo $a+ib$ como $[\begin{smallmatrix}a & -b\\ b & \hphantom{-}a\end{smallmatrix}]$ ?

Question

Estoy leyendo el libro de John Stillwell Álgebra de Liebra ingenua y se afirma que todos los números complejos pueden representarse mediante un $2\times 2$ matriz $\begin{bmatrix}a & -b\\ b & \hphantom{-}a\end{bmatrix}$ .

Pero obviamente $a+ib$ es muy diferente de $\begin{bmatrix}a & -b\\ b & \hphantom{-}a\end{bmatrix}$ ya que este último es bastante torpe de usar y rara vez se ve en las aplicaciones que conozco. Además, complica operaciones sencillas como la multiplicación de matrices, ya que hay que dar un paso más y extraer el número complejo después de realizar la multiplicación.

¿Puede alguien explicar cuál es exactamente la diferencia (si es que existe) entre las dos representaciones? ¿En qué casos es ventajosa una representación matricial?

Answer 1

Esta representación de $\,\Bbb C\,$ surge de ver $\,\Bbb C\cong \Bbb R^2$ como espacio vectorial bidimensional sobre $\,\Bbb R,\,$ donde $\rm\:\alpha = a+b\,{\it i}\:$ es un $\:\Bbb R$ -mapa lineal $\rm\:x\to \alpha\, x.\,$ Cálculo de los coeficientes de la matriz de $\,\alpha\,$ wrt a la base $\,[1,\,{\it i}\,]^T\:$ obtenemos

$$\rm (a+b\,{\it i}\,) \left[ \begin{array}{c} 1 \\ {\it i} \end{array} \right] \,=\, \left[\begin{array}{r}\rm a+b\,{\it i}\\\rm -b+a\,{\it i} \end{array} \right] \,=\, \left[\begin{array}{rr}\rm a &\rm b\\\rm -b &\rm a \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} 1 \\ {\it i} \end{array} \right]$$

¿Qué sentido tienen estas representaciones lineales? Al explicitar la estructura lineal innata podemos aplicar las potentes técnicas del álgebra lineal.

Por ejemplo, veamos un álgebra lineal análoga de los números de Fibonacci. Recordemos la fórmula de Binet según la cual $\, f_n = (\varphi^n + \bar \varphi^n)/\sqrt{5}\,$ donde $\,\varphi,\bar \varphi = (1\pm\sqrt{5})/2\,$ son las raíces de $\,x^2-x-1.\,$ Aquí es natural trabajar en $\,\Bbb Q(\varphi) = \Bbb Q(\sqrt{5}) = \{a + b\sqrt{5}: a,b\in\Bbb Q\},\,$ un espacio vectorial bidimensional sobre $\,\Bbb Q\,$ con base $\,[\varphi,1].\,$ Aquí la multiplicación por $\,\varphi\,$ tiene la matriz $M$ que se muestra a continuación

$$\rm {\it \varphi}\, \left[ \begin{array}{c} {\it \varphi} \\ 1 \end{array} \right] \,=\, \left[\begin{array}{r}\rm \varphi + 1\\\rm \varphi + 0 \end{array} \right] \,=\, \left[\begin{array}{rr}\rm 1 &\rm 1\\\rm 1 &\rm 0 \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} \varphi \\ 1 \end{array} \right]$$

Esto conduce a la siguiente representación matricial de los números de Fibonacci.

$$\qquad M^n\ =\ \left[\begin{array}{ccc} \,1 & 1 \\\ 1 & 0 \end{array}\right]^n =\ \left[\begin{array}{ccc} F_{n+1} & F_n \\\ F_n & F_{n-1} \end{array}\right] $$

Lo anterior nos permite calcular rápidamente los números de Fibonacci calculando las potencias de $\,M\,$ por cuadratura repetida . Además, permite demostrar fácilmente la ley de adición de Fibonacci

$$\begin{eqnarray} M^{n+m} = M^n M^m &=&\, \left[\begin{array}{ccc} F_{n+1} & F_n \\\ F_n & F_{n-1} \end{array}\right]\ \left[\begin{array}{ccc} F_{m+1} & F_m \\\ F_m & F_{m-1} \end{array}\right] \\ \\ \Rightarrow\ \ \left[\begin{array}{ccc} F_{n+m+1} & F_{n+m} \\\ \color{#c00}{F_{n+m}} & F_{n+m-1} \end{array}\right]\! &=&\,\left[\begin{array}{ccc} F_{n+1}F_{m+1} + F_nF_m & F_{n+1}F_m + F_nF_{m-1} \\\ \color{#C00}{F_nF_{m+1} + F_{n-1}F_m} & F_{n}F_{m} + F_{n-1}F_{m-1} \end{array}\right]\end{eqnarray}$$

que contiene la ley de adición buscada.

$$\color{#c00}{F_{n+m} = F_nF_{m+1} + F_{n-1}F_m} $$

Esto no es más que una pequeña muestra del poder que ofrecen las representaciones lineales.

Answer 2

Simplemente observe que $$ \begin{bmatrix}a & -b\\ b & a\end{bmatrix}=aI+bJ $$

donde $ I=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix} $ y $ J=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\;. $ Ahora observe que $I$ y $J$ comportarse como $1$ y $i$ respetuosamente (de hecho $I$ es la identidad de $2\times2$ matrices y $J^2=-I$ ), que son un $\Bbb R$ -base para $\Bbb C$ .

Así, escribiendo $\begin{bmatrix}a & -b\\ b & a\end{bmatrix}$ equivale a escribir $a+ib$ .

Answer 3

En geometría analítica, las matrices $$ \left[ \begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \right] $$ Son rotaciones y en números complejos los números $e^{i\theta}$ hacen el mismo trabajo en vectores, así que esta es una buena razón para tomar matrices de esta forma igual a su forma compleja.

Answer 4

No hay ninguna diferencia esencial, por supuesto. El texto describe dos formas de definir los números complejos, una que le resultará más familiar y otra que no tanto. Las dos estructuras sólo difieren en los nombres de los elementos. El término técnico es que las dos son isomórficas. Las dos presentaciones son tan parecidas que apenas hay diferencias técnicas. Las dificultades que describes son totalmente inesenciales. Es sólo un ejemplo de la capacidad de describir lo que es esencialmente lo mismo utilizando objetos diferentes. Aunque hay bastante elegancia en la definición de los números complejos como ciertas matrices. Aunque sólo sea por eso, es genial que se pueda hacer. Desde un punto de vista un poco más profundo, la definición mediante matrices hace que la conexión entre la multiplicación de los números complejos y las rotaciones sea casi evidente.

Answer 5

Se supone que el tratamiento de Stilwell es elemental y, por tanto, evita las definiciones de Grupos de Lie en términos de Múltiplos, en su lugar sólo define lo que es un Grupo de Lie Matricial. Esto significa que no puede decir lógicamente que el plano complejo es un grupo de Lie a menos que demuestre que es un grupo de Lie matricial. Por eso escribe los números complejos y luego los cuaterniones como matrices.