$A \subset \mathbb{R}$ tal que $A$ es homeomorfo a $\mathbb{R} \setminus A$

Question

Para 2 espacios topológicos $(X,T_X)$ y $(Y,T_Y)$ Escribo $X \simeq Y$ si $X$ y $Y$ son homeomórficos. Si $A \subset X$ siempre doto $A$ con la topología del subespacio.

Me pregunto si es cierto que :

$\exists A \subset \mathbb{R}$ tal que $A \simeq \mathbb{R} \setminus A$ .

No se cumple para los conjuntos conectados (es decir, los intervalos, ya sea porque $\mathbb{R} \setminus A$ no estaría conectado o uno de $A$ o $\mathbb{R} \setminus A$ no estaría conectado después de eliminar un punto mientras que el otro puede seguir siéndolo), ni para conjuntos compactos (como $\mathbb{R}$ sería la unión de dos conjuntos compactos, así que compactos), ni para conjuntos contables o cocontables (como $A$ y $\mathbb{R} \setminus A$ tendrían diferentes cardinalidades).

Si esto es cierto, me pregunto si además :

$\exists A \subset \mathbb{R}$ abierto tal que $A \simeq \mathbb{R} \setminus A$ .

Gracias.

Answer 1

Para su primera pregunta, la respuesta es sí: considere $$\bigcup_{z\in\mathbb{Z}} [2z, 2z+1).$$

Para su segunda pregunta, la respuesta es no. PISTA: Demuestre que si $A$ está abierto y $\mathbb{R}\setminus A\cong A$ entonces $(a)$ cada componente conectado de $A$ es homeomorfo a $(0, 1)$ pero $(b)$ ningún componente conectado de $\mathbb{R}\setminus A$ es.

Answer 2

Noah respondió a la primera pregunta.

Para la segunda pregunta, la respuesta es no.

Porque si $A$ eran homeomórficos a $\mathbb{R} \backslash A$ siendo el homeomorfismo $f$ se deduce que $A \to \mathbb{R} \backslash A \hookrightarrow \mathbb{R}$ es un mapa abierto (invariancia de dominio), por lo que $\mathbb{R} \backslash A$ se abriría en $\mathbb{R}$ . Por lo tanto, debería ser $\mathbb{R}$ (ya que también es cerrado, al ser el complemento de un conjunto abierto, y claramente no puede ser el conjunto vacío). De ello se deduce que $A$ es vacío, un absurdo.