Que $x$ tiene orden más grande de $a$

Question

Se trata de ejercicio $2.35$ de A primer curso de Rotman en álgebra abstracta.

Que $G$ un grupo y dejar un $a \in G$ orden $pk$ % primer $p$, donde $k \geq 1$. Demostrar que si hay es de $x \in G$ $x^p = a$, entonces el orden de $x$ $p^2k$, y por lo tanto $x$ tiene orden más grande de $a$.

Esto no es tarea, pero estoy atrapado. ¿Hay una buena manera de demostrarlo?

Answer 1

Que $o(x)$ la orden de $x$. $x^{p^2k}=(x^p)^{pk}=a^{pk}=e$, $o(x)\mid p^2k$. Desde $x^{o(x)}=e$, tenemos $a^{o(x)}=x^{p\cdot o(x)}=e$, por lo tanto, $o(a)\mid o(x)$ y $o(x)=lkp$ % entero $l$. Así $lkp\mid p^2k$ y $l\mid p$. Como $p$ prime, % o $l=1$ $l=p$. Si $l=p$ estamos hechos, lo contrario $o(x)=kp$ y $x^{pk}=e=a^k$, que $p=1$.

Answer 2

Este el caso especial $n = 1$ de los hechos siguientes:

Deje $p$ ser una de las primeras, y supongamos $a \in G$ es de orden divisible por $p$$x^{p^n} = a$. A continuación, $x$ orden $p^n \cdot o(a)$.

Para probar esto, usted puede utilizar el orden de la fórmula $$o(x^{p^n}) = \frac{o(x)}{\gcd(o(x), p^n)} $$

Por lo tanto $o(x) = \gcd(o(x), p^n) \cdot o(a)$. Deje $p^k$ ser la potencia más grande de $p$ dividiendo $o(x)$. Si $k < n$,$o(x) = p^k \cdot o(a)$. Debido a $p$ divide $o(a)$, esto implica que $p^{k+1}$ divide $o(x)$, una contradicción. Por lo tanto $k \geq n$, lo que demuestra que $o(x) = p^n \cdot o(a)$.