Respuesta: El objetivo es establecer que todos los enteros impares mapa a uno de los conjuntos de $A_k$ o $M_k$, o a encontrar un equivalente enunciados de los problemas. Tenga en cuenta que mientras que $A_k \subset {M_k}\,$, mostrando en los patrones de las asignaciones de cambio de $A_k$ $M_k$es útil para encontrar un equivalente enunciado del problema.
(PARTE I)
La inicial dieciséis asignaciones entre los enteros impares y los elementos de $A_k$ $M_k$ se dan a continuación. La disposición en 4 mapas por fila es intencional, ya que esto va a establecer un patrón que será útil más adelante.
$$ 1 \in A_1; 3 \in A_0; 5 \in A_3; 7 \in A_0 $$
$$ 9 \in A_1; 11 \in A_0; 13 \in A_2; 15 \in M_0; $$
$$ 17 \in A_1; 19 \in M_0; 21 \in A_5; 23 \in M_0; $$
$$ 25 \in M_1; 27 \in M_0; 29 \in A_2; 31 \in M_0; $$
y así sucesivamente para todos los enteros impares.
Tenga en cuenta que el primer, segundo y cuarto elementos de cada uno por encima de la fila del mapa a los elementos de los conjuntos con el mismo valor de $\,k\,$ repetidamente (y continuar infinitamente), mientras que las asignaciones de la tercera elementos varían.
(PARTE II)
Queda por demostrar que el tercero de cada cuatro impares números naturales es en $M_k$ para algunos K>1; Estos elementos forman el conjunto:
$$ T = \{p\in N, p \equiv 5 \pmod 8\} $$
Observar que el patrón de cómo T se asigna a $A_k$ o $M_k$ es similar a la del patrón inicial de los enteros impares:
$$ 5\in A_3; 13\in A_2; 21\in A_5; 29 \in A_4 $$
$$ 37 \in A_3; 45 \in A_2; 53 \in A_4; 61 \in A_2 $$
$$ 69 \in A_3; 77 \in A_2; 85 \in A_7; 93 \in M_2 $$
$$ 101 \in M_3; 109 \in M_2; 117 \in A_4; 125 \in M_2 $$
La similitud de la parte I está en el patrón de los subíndices. El patrón es el siguiente, tomar k=0 para la parte I, y k=2 para el conjunto T;
$$ A_{k+1}; A_k; A_{k+3}; A_k $$
$$ A_{k+1}; A_k; A_{k+2}; M_k $$
$$ A_{k+1}; M_k; A_{k+5}; M_k $$
$$ M_{k+1}; M_k; A_{k+4}; M_k $$
Mientras que el patrón de el tercer elemento sería finalmente revelan a sí misma por seguir mapa enteros impares como en la Parte I, la observación anterior proporciona un acceso directo. El noveno elemento de la Parte I y T cada mapa para el tercer elemento de sus respectivos conjuntos de $A_{k+1}$. Al mismo tiempo, el valor de la undécima elemento de la Parte I y T asignan a sus respectivos conjuntos de $A_{k+3}$, la señalización es el momento de introducir un nuevo conjunto con el siguiente nivel de patrón basado en k=4.
(PARTE III)
Esta sección va a definir formalmente una secuencia de conjuntos que describen las observaciones anteriores:
DEFINICIÓN:
$$ S_k = \{p \in \mathcal{N}, p \equiv {f \left(k\right)} \pmod {2^{k+1}}, \forall k \in \mathcal{N}, k\equiv 0\pmod 2 \}$$
$$ \text { where } \{f \left(k\right) = \sum_{i=0}^k \,4^i \} $$
Recordemos que la pregunta es si la secuencia de conjuntos de $M_k$ de cobertura (también conocido como partición) de los enteros impares. La secuencia de conjuntos de $S_k$ introducido en esta respuesta son equivalentes a la generación de los conjuntos de $M_k$ por la recursividad de la fórmula de la pregunta. Para ver esta relación, los subconjuntos de los conjuntos de $\,S_k\,$ puede ser construido. Para más formalmente se definen:
$$ S_{k,0} = \{p \in \mathcal{N}, p \equiv {f \left(k\right)} \pmod {2^{k+3}}\}\, , \forall k \in \mathcal{N}, k\equiv 0\pmod 2 $$
$$ S_{k,1} = \{p \in \mathcal{N}, p \equiv {\left(f \left(k\right) + 2^{k+1}\right)} \pmod {2^{k+3}}\}\, , \forall k \in \mathcal{N}, k\equiv 0\pmod 2 $$
$$ S_{k,2} = \{p \in \mathcal{N}, p \equiv {\left(f \left(k\right) + 2^{k+2}\right)} \pmod {2^{k+3}}\}\, , \forall k \in \mathcal{N}, k\equiv 0\pmod 2 $$
$$ S_{k,3} = \{p \in \mathcal{N}, p \equiv {\left(f \left(k\right) + \left(3\times 2^{k+1}\right)\right)} \pmod {2^{k+3}}\}\, , \forall k \in \mathcal{N}, k\equiv 0\pmod 2 $$
$$ \text { where } \{f \left(k\right) = \sum_{i=0}^k \,4^i \} $$
Siguiente, se observa que:
$$ S_{k,0}\, \equiv M_{k+1} \forall k \in \mathcal{N}, k \equiv 1\pmod 2 .$$
$$ \left(S_{k,1} \cup S_{k,3} \right)\, \equiv M_k \forall k \in \mathcal{N}, k \equiv 1\pmod 2 .$$
Así, la secuencia de $\,\left(S_k\right)\,$ genera los conjuntos de $\,\left(M_k\right)\,$.
Por lo tanto, para demostrar la afirmación: $$ \forall n \in \mathcal{N}, n\equiv 1\pmod 2,\,\exists k \in \mathcal{N}, k\geq0 \text { such that } n \in M_k, $$
uno podría equivalentemente mostrar:
$$ \forall n \in \mathcal{N}, n\equiv 1\pmod 2,\, \exists k \in \mathcal{N}, k \equiv 0 \pmod 2 \text { such that } n \in \left(M_k \cup {M_{k+1}} \cup {\left(S_{k,2}\right)}\right) $$.
(APÉNDICE - CUADROS)
$$ S_k= $$
$$ \begin{array} {lllll} \\
S_{k,0}=M_{k+1} & S_{k,1} \subset M_k & S_{k,2} = \cup_{j=k+2}^\infty \left(M_j\right) & S_{k,3} \subset M_k \\ \hline
\color{red}{f(k)} & f(k)+2^{k+1} & \color{red}{f(k+2)} & f(k+2)+2^{k+1}\\
f(k)+2^{k+3} & f(k)+2^{k+1}+2^{k+3} & f(k+2)+2^{k+3} & f(k+2)+2^{k+1}+2^{k+3}\\
f(k)+2^{k+4} & f(k)+2^{k+1}+2^{k+4} & \color{red}{f(k+4)} & f(k+2)+2^{k+1}+2^{k+4}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\end{array} $$
El gráfico anterior ilustra varios puntos relacionados con ¿por qué los conjuntos S_k de esta respuesta son una mejora sobre los conjuntos de M_k de mi pregunta:
- No recursiva de cálculo es necesario, simplemente calcular f(k) directamente.
- $S_{k,0}$, $S_{k,1}$ y $S_{k,3}\,$ aislar a todos los miembros de $\,M_k\,$ en una o dos columnas de la tabla, si usted está interesado en trabajar con un determinado modulo conjunto.
- $S_{k,2}\,$ conserva la naturaleza lineal del modelo, pero uno puede dejar de leer después de la tercera entrada y pasar a la siguiente tableau para f(k+2).
- El rojo entradas destacar que f(k+2) en la primera fila, tercera columna es el punto de pivote para este proceso.
