Demostrar que dados dos puntos cualesquiera de una variedad conectada, existe un difeomorfismo que lleva uno a otro

Question

Supongamos que $M$ sea una variedad conectada y $x, y \in M$ son dos puntos. Entonces estoy tratando de demostrar que hay un difeomeorfismo $f$ de $M$ que lleva $x$ a $y$ .

Dado que el conjunto de puntos para los que existe un difeomorfismo de $M$ tomando $x$ hasta ese punto es clopen y $M$ está conectado, creo que debería ser suficiente para considerar el caso cuando ambos $x$ y $y$ se encuentran en el mismo gráfico. Pero, ¿cómo debo proceder a partir de aquí? Creo que debería tomar de alguna manera un campo vectorial y considerar los flujos, pero no estoy muy seguro.

¿Puede alguien proporcionar una solución? Gracias de antemano.

Answer 1

Fijar $y \in M$ y definir $S_y := \{ x \in M \, | \, \exists \phi \in \mathrm{Diff}_c(M), \phi(x) = y \}$ . El conjunto $S_y$ no está vacío (porque $y \in S_y$ ). Demostremos que $S_y$ está cerrado y abierto. De las definiciones se desprenden inmediatamente dos propiedades:

1. $x \in S_y$ si y sólo si $y \in S_x$ .
2. Si $x' \in S_x$ y $x \in S_y$ entonces $x' \in S_y$ .

Dado $x \in M$ se puede encontrar un subconjunto abierto $U \subseteq M$ y un gráfico $\varphi \colon U \rightarrow B(0,1)$ alrededor de $x$ con $\varphi(x) = \textbf{0}$ . Aquí, $B(\textbf{0},1) \subset \mathbb{R}^n$ y $\varphi = (x^1, \ldots, x^n)$ . Dado $x' \in U$ , denótese por $\textbf{c} = \varphi(x')$ las coordenadas de $x'$ y elegir algunos $||\textbf{c}|| < r < 1$ . El campo vectorial "constante" $X = c^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ está bien definida en $U$ y multiplicando $X$ con una función bump, se puede extender $X$ a un campo vectorial globalmente definido y compactamente soportado $\tilde{X}$ con $\tilde{X}|_{\varphi^{-1}(B(0,r))} = X$ . Desde $\tilde{X}$ tiene un soporte compacto, genera un flujo definido globalmente $\phi_t$ . La curva $\gamma(t) = \varphi^{-1}(t\textbf{c})$ (para $t \in [0,1]$ ) es una curva integral de $\tilde{X}$ Satisfaciendo a $\gamma(0) = x$ y $\gamma(1) = x'$ lo que implica que $\phi_1(x) = x'$ . Así, $x \in S_x'$ y $x' \in S_x$ .

Ahora, dejemos que $x \in S_y$ . Elección de $U$ como en el caso anterior, vemos que para todo $x' \in U$ tenemos $x' \in S_x$ lo que implica que $x' \in S_y$ y así $S_y$ está abierto.

Por último, si $x_n \in S_y$ y $x_n \rightarrow x$ y, a continuación, elegir $U$ alrededor de $x$ como en el caso anterior, tenemos $x_n \in S_y$ y $x_n \in U$ para algunos $n$ lo que implica que $x \in S_{x_n}$ y así $x \in S_y$ .