En lo que sigue, todas las categorías se supone que para ser pequeña (clases de objetos y morfismos son conjuntos).
Que estructuras matemáticas $X$ puede considerarse como casos particulares de los pequeños categorías $\underline{X}$, por lo que los morfismos $X\to Y$ de esas estructuras coinciden con functors $\underline{X}\to \underline{Y}$?
Hasta el momento, tengo:
- set $S$ (objetos son elementos de $S$, no hay morfismos excepto identidades); un conjunto es, precisamente, una categoría de sin identidad no morfismos;
- semigroup $S$ (un objeto, morfismos son elementos de $S$, la composición es la multiplicación en $S$); un unital semigroup es, precisamente, una categoría con un solo objeto; un grupo es, precisamente, una categoría con un objeto y a todos los morfismos invertible;
- multidigraph $\Gamma$ (objetos son vértices de $\Gamma$, morfismos son dirigidos caminos, la composición es la concatenación); un multidigraph es, precisamente, una libre categoría;
- posets $P$ (objetos son elementos de $P$, morfismos son elementos de $\leq$); el de posets son precisamente las categorías con una flecha entre dos objetos).
Básicamente me estoy preguntando es
Lo que se sabe (popular) categorías están llenos subcategorías de $\textsf{Cat}$, la categoría de todas las categorías pequeñas y functors? Cómo sobre espacios topológicos? Anillos? Los módulos? Celosías? Simplicial complejos?
Es la categoría de álgebra estudiado para estos casos?
Estoy empezando a darse cuenta de que álgebras asociativas parece ser el concepto central a través del cual todos los otros son estudiados, tales como grupos (grupo de álgebras), anillos ($\mathbb{Z}$-álgebras), los ideales (asociado gradual álgebras), módulos (tensor simétrico, exterior álgebras), álgebras de Lie (universal que envuelve álgebras), simplicial complejos (Stanley-Reisner álgebras), categorías pequeñas (categórica álgebras como semigroup, la incidencia, la aljaba de álgebras), espacios topológicos (álgebra de funciones continuas a $\mathbb{R}$), afín y proyectiva algebraicas conjuntos (coordinar álgebras). Por lo tanto me pregunto qué parte de la categoría de álgebras realmente cubierta.
