A3. Conjunto de estados S de un sistema cuántico con un espacio de Hilbert $\mathscr{H}$ se compone de todos los positivos (y por lo tanto la auto-adjunto) $M\in\mathscr{S}_1$ tal que $\mathrm{Tr}\,M = 1$. Estados puros son la proyección de los operadores en una sola dimensiones de los subespacios de $H$. Para $\phi\in\mathscr{H}$, $||\phi|| = 1$, la proyección correspondiente se denota por a $P_\phi$. Todos los demás estados están llamados estados mixtos.
La única cosa que es diferente de lo que se enseña en una clase de introducción a la mecánica cuántica de la clase es la terminología, y es en realidad, no lejos de los más avanzados tratamientos.
En la introducción del QM clase, uno tendría que aprender que los estados físicos son vectores en un espacio de Hilbert sobre el campo de los números complejos, están representados con las tfe $|\phi\rangle$. Al principio uno podría tener la impresión de que el único relevante espacios de Hilbert son las que corresponden a $L^2$-espacio de cuadrado integrable funciones a través de algunas de dominio (en la posición de base, el wavefunctions $\phi(x) = \langle x|\phi\rangle$). Pero eso no es realmente así, por ejemplo, un electrón, el estado tendría ordinaria de cuadrado integrable función de onda y spinor componentes, por lo que el espacio de Hilbert es más complicado que eso.
(De vez en cuando, uno podría ver una nota a pie de página sobre "aparejado espacios de Hilbert", y que indica que el vector de definición no es del todo correcta. El estado de las tfe en realidad son funcionales lineales, pero en lo que a la mayoría de los físicos se refiere, que sólo matemático-hablar formalmente, incluyendo cosas como la función delta de Dirac y otras distribuciones que no son técnicamente funciones. Hay otras cuestiones que amañado de Hilbert espacios de direcciones, por ejemplo, restringiendo el espacio de estados de forma que se puede aplicar siempre el impulso y la posición de los operadores, tanto como sea necesario.)
Más tarde, uno se entera de que un sistema más general, cuando el estado es incierto, pero estadísticamente predecible es descrito por una matriz de densidad:
$$ \rho = \sum_k p_k |\phi_k\rangle\langle\phi_k|,$$
donde el sistema ha estado ket $|\phi_k\rangle$ con una probabilidad de $p_k$, siendo por tanto un estado mixto. La condición de la unidad de seguimiento sólo significa que las probabilidades que añadir a $1$, es decir, el sistema es, sin duda en algún estado. Así, uno podría decir: un sistema está en un estado puro, siempre que su matriz de densidad es $\rho = |\phi\rangle\langle\phi|$ para algunos el estado ket $|\phi\rangle$. En otras palabras, no tiene probabilidad de $1$ de estar en estado de $|\phi\rangle$. Véase, por ejemplo, Sakurai de la Moderna Mecánica Cuántica.
Lo Takhtajan está haciendo es simplemente tomar "estados mixtos" como principal, en lugar de algo que se introdujo bastante largo básica de gestión de calidad. Para cualquier vector de estado, hay una dimensión del subespacio que consta de todos los múltiplos escalares de vectores. Por lo tanto, esta parte:
Estados puros son la proyección de los operadores en una sola dimensiones de los subespacios de $H$.
sólo significa que la densidad de la matriz es de la forma $|\phi\rangle\langle\phi|$, que es el operador de proyección sobre el subespacio generado por $|\phi\rangle$, lo que uno aprende en la clase de física.
Si esto no es claro, el recuerdo de Euclídea del vector de álgebra que $\hat{x}\cdot\vec{y}$ es el compomenent de $\vec{y}$ que se encuentra a lo largo de un vector unitario $\hat{x}$. Por lo que la proyección de $\vec{y}$ a $\hat{x}$ es el vector de la $\hat{x}(\hat{x}\cdot\vec{y})$. En general, el espacio de Hilbert, la situación es análoga con el producto interior reemplazar el producto escalar: la proyección de la $|\psi\rangle$ a un (normalizado) $|\phi\rangle$$|\phi\rangle\langle\phi|\psi\rangle$.
