Campo extensión notación

Question

He visto similares preguntas aquí, pero no he sido capaz de encontrar una respuesta integral.

Sé que para un anillo $R$, $R[X]$ denota el anillo de polinomios sobre $R$ $R(X)$ denota el campo de fracciones de $R[X]$. Pero si $\alpha \in S$ donde $S \supseteq R$ son anillos, ¿cuál es la diferencia entre el$R[\alpha]$$R(\alpha)$? Es mi entendimiento de que si $R$ es un campo, a continuación,$R[\alpha] \cong R(\alpha)$, pero que esto no es cierto en general para cualquier anillo. Es esto correcto?

Agregar a mi confusión es el hecho de que $\mathbb Z[i]$ $\mathbb Z(i)$ se utilizan indistintamente, a pesar de $\mathbb Z$ no siendo un campo. Sin embargo, es claro para mí que son equivalentes ( es decir,$\mathbb Z[i] = \mathbb Z(i) = \{ a + bi | a,b \in \mathbb Z \}$); esto debido a que $i$ es algebraico sobre $\mathbb Z$? O por alguna otra razón?

Gracias por su ayuda!

Answer 1

$R[\alpha]$ $R(\alpha)$ son diferentes en general.

$R[\alpha]$ es el más pequeño sub-anillo de $S$ que contiene tanto $R$$\alpha$.

$R(\alpha)$ es el menor subcuerpo de $S$ que contiene tanto $R$$\alpha$. (*)

Al $R$ es un campo, $R[\alpha]=R(\alpha)$ fib $\alpha$ es algebraico sobre $R$.

Por ejemplo, $\mathbb Q[\sqrt2]=\mathbb Q(\sqrt2)$ pero $\mathbb Q[\pi]\ne\mathbb Q(\pi)$. De hecho, $\mathbb Q[\pi]\cong \mathbb Q[X]$$\mathbb Q(\pi)\cong \mathbb Q(X)$. Por eso, $\mathbb Q[\pi]$ no es una esfera sino $\mathbb Q(\pi)$ es.

(*) La notación $R(\alpha)$ es utilizado probablemente sólo al $R$ es un campo. Uno podría argumentar que, por ejemplo, $\mathbb Z(\sqrt2)$ debe ser igual a $\mathbb Q(\sqrt2)$, pero nunca he visto hecho, y probablemente inútil y confuso.