¿Es una álgebra de la sigma de $\mathcal {F}$?

Question

$(C[0,1],d)$ ser espacio métrico con la métrica usual 'sup-norma'.

Que $(C[0,1],\mathcal {B})$ sea un espacio medible donde $\mathcal {B}$ es a álgebra de la sigma de Borel en $C[0,1]$. Que $\mathcal{F}_t=\sigma(W_s:s \in [0,t])$ donde $W_s$ denota el mapa de la evaluación. Que $\mathcal {F}= \bigcup_{ t \in [0,1)} \mathcal{F}_t$. ¿Es $\mathcal {F}$ un álgebra de $\sigma-$?

Tengo problemas mostrar que $\mathcal {F}$ está cerrada bajo la Unión contable. ¿Realmente no tengo ninguna intuición si $\mathcal {F}$ es una álgebra de $\sigma-$ o no? ¿Alguna idea para probar o refutar esto?

Answer 1

$\mathcal F$ es un álgebra pero no un $\sigma$-álgebra. Que $\mathcal G:=\sigma(\mathcal F)$. Claramente $\mathcal G\supset\mathcal F$. Considere ahora el conjunto $B:=\{\omega\in C[0,1]: \sup_{n\in\Bbb N}W_{1-1/n}(\omega)\le W_1(\omega)\}$. Entonces $B\in \mathcal G$, $B\notin\mathcal F$. Para ver la afirmación de este último, tenga en cuenta que $B$ fueron un elemento de $\mathcal F$, entonces habría un $t_0\in(0,1)$ $B\in\mathcal F_{t_0}$. Pero es fácil de exponer dos elementos $\omega$ y $\omega'$ $C[0,1]$ $\omega(s)=\omega'(s)$ % todo $s\in[0,t_0]$$\sup_{n\in\Bbb N}W_{1-1/n}(\omega)>0\ge\sup_{n\in\Bbb N}W_{1-1/n}(\omega')$, que $\omega\notin B$, $\omega'\in B$.