Mostrando $\pi_1(M) = F$ ($F$ un finito generado grupo libre y $M$ un $n$-variedad de dimensión mayor que $2$)

Question

Problema: Vamos a $F$ ser un finitely libres generados por el grupo. Demostrar que hay un $n$ colector de, $M$, $n > 2$ con $\pi(M) = F$.

1. Deje $F = F_S$ s.t. $|S| \in \mathbb{N}$.

2. Si pudiera demostrar que no existe $n$-colectores $M_1, \ldots , M_k$ s.t.

   \begin{equation} \tag{*} F_S = \pi_1 (M_1) \ast \pi_1(M_2) \ast \ldots \ast \pi_1(M_k) \end{equation}

   entonces yo podría utilizar el resultado de este post para afirmar que

   $$ F_S = \pi_1 (M_1) \ast \pi_1(M_2) \ast \ldots \ast \pi_1(M_k) = \pi_1(M_1 \# M_2 \# \ldots \# M_k) $$

   así que si $M_1 \# \ldots \# M_k = M$, entonces tendríamos que $F_S = \pi_1(M)$ como se desee.

Por desgracia, no estoy seguro de cómo podemos mostrar $(*)$, o si este es el camino correcto hacia una respuesta.

Answer 1

Vamos a empezar por la construcción de una $n$-colector $M_n$$\pi_1(M_n) \cong \Bbb Z$. Sabemos que $S^1$ $1$- colector y $\pi_1(S^1) \cong \Bbb Z$. El producto de dos colectores es de nuevo un colector. Considere la posibilidad de $M_n = S^1 \times \Bbb R^{n-1}$. Esta es una $n$-colector. Desde $\Bbb R^{n-1}$ es contráctiles, $\pi_1(M_n) \cong \pi_1(S^1) \times \pi_1(\Bbb R^{n-1}) \cong \Bbb Z$.

Ahora, utilizamos el siguiente resultado:

Supongamos $n$ es un número natural que es al menos igual a 3. Supongamos $M_1$ $M_2$ (posiblemente homeomórficos, posiblemente no) $n$-dimensiones conectado colectores e $M_1 \# M_2$ es su conectados suma. Entonces tenemos la siguiente relación entre los grupos fundamentales de los colectores: $$\pi_1(M_1 \# M_2) = \pi_1(M_1) * \pi_1(M_2)$$

Usted puede encontrar una prueba aquí.

Lo que queda es tomar el conectado suma de $k$ copias de $M_n$ donde $k$ es el número de generadores del grupo libre.

Answer 2

Cuenta que un ramo de $n$ círculos grupo fundamental del grupo libre en $n$generadores $F_n$. Tomar su dimensión deseada $N>1$, incrustar un ramo de círculos de $n$ $\mathbb{R}^N$ y luego tomar un pequeño abierto $\epsilon$-barrio de la imagen. Este barrio es un % colector abierto $M$que deformación se retrae en el ramo, por lo tanto tiene $\pi_1(M) = F_n$.

Answer 3

Dado que tanto las respuestas que aquí se dan no cerrado colectores, sus ejemplos, los siguientes se da cuenta de que su pregunta cerrada $n$-colectores.

Fix $n>2$. A continuación, $\pi_1(S^{n-1})$ es trivial, y por lo tanto (ya que el grupo fundamental de un producto de espacios es el producto de su fundamental grupos) $\pi_1(S^1 \times S^{n-1}) = \mathbb Z$. Escribir $X_1 = S^1 \times S^{n-1}$. Como se mencionó anteriormente, debido a que $\pi_1(S^{n-1})$ es trivial, una aplicación de Van Kampen del teorema muestra que $\pi_1(A \# B) = \pi_1(A) \ast \pi_1(B)$ al $A$ $B$ son colectores de dimensión mayor que 2. Como resultado, la definición inductiva de $X_k = X_1 \# X_{k-1}$, podemos ver que $\pi_1(X_k)$ es el grupo en $k$ generadores, en $X_k$ es un sistema cerrado (compacto sin límite) $n$-colector.