Una nueva forma de pensar acerca de $\pi$

Question

No sé si debo hacer esta pregunta o no, pero estoy preguntando esto:

(Antes de nada, este es un análisis de cerrado de figuras 2D.)

Yo estaba analizando $\pi$ . Parece ser una constante, Pero siendo una constante es mi curiosidad. Podemos decir que el $\pi$ es una propiedad de un círculo que hace que el círculo de un círculo. Mismo que debe ser constante para cada figura sea posible. Así que me propuso una nueva teoría de la $\pi$ o una nueva definición de la $\pi$, que dice: -

$Figure_\pi = {L \over D}$

donde, L = Longitud de la curva,

D = distancia Máxima posible entre dos puntos

Por eso, $Circle_\pi = {Circumference \over Diameter} \implies Circle_\pi = \pi$

También, $Square_\pi = {Perimeter \over Diagonal } \implies Square_\pi = {4a \over a\sqrt2} = {2\sqrt2}$

Y, $Rectangle_\pi = {2(a+b) \over \sqrt{a^2+b^2}}$

Ahora que me he quedado prendado, como para el rectángulo no estoy recibiendo una constante, pero me di cuenta de que esto es obvio. Dos cuadrados o círculos son siempre similares, pero dos rectángulos no son necesariamente similares, porque para dos rectángulos similares, sus ratios de longitudes y anchuras debe ser constante. Así que me sugirió tipos de figura sobre la base de sus variables.

Como un círculo o un cuadrado puede ser definido por una única variable, llamé a ellos de una sola variable figuras. Para un rectángulo, un rombo, o una elipse, debemos tener dos variables, por lo que les he llamado 2 variable figuras. Para el azar cifra similar debemos conocer por algunos medios de la longitud de la curva y la distancia máxima entre dos puntos, y vamos a recibir una llamada constante es $Figure_\pi$

Mi pregunta es la siguiente: Estoy pensando en la dirección correcta o no, porque me estoy encontrando diferentes constantes para diferentes figuras 2D como variable diferente cifras?

Answer 1

De cualquier forma dada se puede definir la relación entre la circunferencia y el acorde mayor, que será una constante independientemente de la escala. Esto es porque cuando se doble el tamaño de la forma doble de la circunferencia y doble el acorde, por lo que la relación mantiene igual. Tienes razón que no hay una relación única para todos los rectángulos, pero hay uno de rectángulos de una proporción dada. Su $Rectangle_\pi$ puede expresarse como $$\frac {2+2\frac ba}{\sqrt{1+(\frac ba)^2}}$$ where the dependence on the proportions of the rectangle is explicit. For a regular hexagon, the constant is 3. It will approach $\pi$ as the number of sides increases. You might see Wikipedia under Polygon approximation era for the story of Archimedes calculating $\pi$ exactamente de esta manera.