Probar la característica de Euler es un homotopy invariante sin el uso de la teoría de la homología

Question

Yo estaba pasando de Mayo Concisa Curso de Topología Algebraica y se encontró la siguiente pregunta en la página 82.

• Creo que se trata de probar de lo que hemos hecho hasta ahora que $\chi(X)$ sólo depende de la homotopy tipo de $X$, no en su descomposición como un finito CW complejo.

Aquí, "lo que hemos hecho hasta ahora", incluye una buena cantidad de homotopy teoría, pero no la teoría de la homología. La única prueba de que sé de la homotopy la invariancia de $\chi$ es el Hatcher el uso de homología de grupos, así que estoy intrigado por esta cuestión.

Recordemos que para un número finito de CW complejo de $X$, podemos definir la característica de Euler como $$\chi(X)=\sum (-1)^n c_n,$$ donde $c_n$ es el número de $n$-células en $X$.

Answer 1

Vamos a probar esto por inducción: supongamos que sabemos que si $X$ se compone de $\,<n$ células, a continuación, para todos los demás finito $CW$-complejos de $X'$ tal que $X\approx X'$ tenemos $\chi(X)=\chi(X')$.

Deje $Y$ $Y'$ dos finito $CW$-complejos, $Y$ se compone de $n$ células, y $f:Y\to Y'$ es homotopy de equivalencia. Considerar uno de los de mayores dimensiones de la célula de $Y$: vamos a $Y=Z\cup_\alpha D^k$ donde $Z$ se compone de $n-1$ células, $D^k$ es sólo una celda y $\alpha:\partial D^k\to Z$ es adjuntar mapa. Vemos que $\chi(Z)=\chi(Y)-(-1^k)$.

A continuación, considere el espacio de $CZ\cup_{f|_Z}Y'$ aquí $CZ$ es un cono. $f$ supone mapa de celulares, por lo $CZ\cup_{f|_Z}Y'$ $CW$ complejo; contiene todas las células de $Y'$, todas las células de $Z$ veces $I$, y el vértice del cono, por lo $\chi(CZ\cup_{f|_Z}Y')=\chi(Y')-\chi(Z)+1$. Pero sabemos que este espacio ha homotopy tipo de $S^k$, por lo que por hipótesis inductiva $\chi(CZ\cup_{f|_Z}Y')=1+(-1^k)$, e $\chi(Y)=\chi(Y')$ como se desee.

EDIT: para la inducción necesitamos también la declaración de ser verdad en el caso de $X\approx pt$$X\approx S^m$. Si $X\approx S^m$, podemos pegamento $m+1$-disco y obtener contráctiles espacio.

Ahora supongamos que $X\approx pt$, $m$ es la máxima dimensión de las células de $X$ $X$ ha $p$ $\,m$-de las células. El espacio de $sk_{m-1}(X)$ $(m-2)$- conectado, por lo que es homotopy equivalente para el ramo de $q$ $\,(n-1)$-las esferas. Encolado $m$-células determina un homomorphism $\phi:\mathbb Z^p\to\mathbb Z^q$, y las igualdades $\mathrm{coim\,}\phi=\pi_{m-1}(X)$ $\ker\phi\subseteq\pi_m(X)$ nos de $p=q$. Luego podemos quitar $p$ $\,m$-las células, $p$ $\,(m-1)$-las células, y repetir. (este razonamiento suena más como homológica argumento)