Complejo Simplicial vs vs Delta complejo complejo de CW

Question

Estoy un poco confundido acerca de qué son exactamente la diferencia entre el complejo simplicial, $\Delta$-complejo y complejo de CW.

Lo que más o menos entiendo es que $\Delta$-complejos son la generalización de los complejos de simplicial (sin el requisito de que la intersección de dos complejos de simplicial es otro simplicial complejo), y complejo de CW más generaliza eso (¿cómo?).

Cualquier explicación será grandemente apreciada.

Gracias por cualquier aclaración.

Answer 1

Simplicial complejos, $\Delta$-complejos, y CW-complejos están todos construidos por pegando simplices. Sin embargo, para cada uno, hay diferentes reglas para qué tipo de "gluings" usted está autorizado a utilizar.

Para CW-complejos, se le permite usar casi cualquier encolado. Específicamente, un CW-complejo está construido por inducción, donde a cada paso, que lindan con un nuevo simplex, pegando su límite para el complejo tiene ya por cualquier mapa. Más explícitamente, si $Y$ es el CW-complejo, se han construido hasta ahora y $f:\partial \Delta^n\to Y$ es cualquier mapa continuo, usted puede construir un CW-complejo de $X=Y\sqcup\Delta^n/{\sim}$ donde $\sim$ es la relación de equivalencia que identifica el $x\in\partial\Delta^n$$f(x)\in Y$. La única restricción a este proceso de encolado es que usted tiene que agregar simplices, en orden creciente de la dimensión. Es decir, usted tiene que comenzar con todas las $0$-simplices, a continuación, pegar en todas las $1$-simplices, a continuación, pegar en todas las $2$-simplices, y así sucesivamente. No está permitido pegar en un nuevo $1$simplex-una vez que ya se ha añadido un $2$-simplex. (Si se cae este orden de condición, se obtiene una noción más general, que es a veces llamado simplemente una celda de "complejo".)

Para $\Delta$-complejos, que hacen la misma cosa, excepto que los mapas de $f$ puede utilizar cuando la adición de una nueva célula son muy restringidas. Específicamente, para cada una de las $(n-1)$-simplex $A$ que es un rostro de $\partial\Delta^n$, la restricción de $f$ $A$debe ser igual a la inclusión de uno de los $(n-1)$-simplices que ya tiene. Es decir, $f$ mapas de la $n$ vértices de $A$ (con sus canónica de pedido) a la $n$ vértices de algunos $(n-1)$-simplex ya has añadido a su complejo (con el mismo orden en los vértices), y $f$ se extiende a todos los de $A$ por sólo interpolar linealmente. Intuitivamente, esto significa que el complejo es una unión de simplices que se pegan por solo encolado de sus rostros juntos en el "obvio" que la forma lineal (por ejemplo, como uno se encuentra en una triangulación de la superficie), en lugar de por la arbitraria complicado continua de los mapas. Nota, sin embargo, que algunas de las caras de un único simplex puede obtener pegados el uno al otro: la restricción en lo $f$ puede ser sólo se aplica a cada cara de $\partial\Delta^n$ por separado. Así, por ejemplo, usted puede comenzar con un solo vértice y, a continuación, añadir un borde, tanto de cuyo límite vértices son los vértices que se inició con (esto le da un círculo). Luego, puede agregar un triángulo tal que cada uno de sus tres lados son iguales a la de uno de los bordes que tienen (esto le da un espacio que no puede ser embebido en $\mathbb{R}^3$, y es más difícil de visualizar!).

Finalmente, simplicial complejos se $\Delta$-complejos que satisfacen aún más restricciones. En primer lugar, $f$ es necesario asignar diferentes caras de $\partial\Delta^n$ diferentes $(n-1)$-simplices, por lo que la situación descrita al final del párrafo anterior no puede suceder. Además, no se permite agregar dos diferentes $n$-simplices con el mismo conjunto de vértices, de modo que un simplex en un complejo simplicial está determinada únicamente por su conjunto de vértices (que, por el primer requisito, usted puede mostrar son todas distintas).