Supongamos que poynomial $x^4+x+1$ tiene raíces múltiples sobre un campo de característica $p$. Cuáles son los posibles valores de $p$

Question

Supongamos que el polinomio $x^4+x+1$ tiene múltiples raíces sobre un campo de característica $p$ . ¿Cuáles son los posibles valores de $p$?

Mi solución : Set $f=x^4+x+1$. Supongamos que las raíces múltiples es $m$ . Por lo $f,f'$ (el formal derivado de la $f$) han raíz de $m$ en el campo de la característica $p$.

Por lo tanto $m^4+m+1=0 \pmod{p} $ $4m^3+1=0 \pmod{p}$

Por lo $3m+4=4(m^4+m+1)-m(4m^3+1)=0 \pmod{p}$ .

A partir de aquí es fácil ver que $p\neq 3$. No tengo idea de si es posible seguir adelante. Por favor proporcione una solución.

Answer 1

Utilizando el algoritmo de Euclides extendido tenemos $$ 229 = (x^4 + x + 1)(144 x^2 - 192 x + 256)+(4 x^3 + 1)(-36 x^3 + 48 x^2 - 64 x - 27) $$ Esto también puede ser encontrado mediante el cálculo de la resultante de $x^4 + x + 1$$4 x^3 + 1$, es decir, el discriminante de $x^4 + x + 1$.

Answer 2

$3 m + 4 \equiv 0 \pmod{p} \\ 3 m \equiv -4 \pmod{p} \\ 27 m ^ 3 \equiv 64 \pmod{p}$$

También tienes %#% $ #%

Indicar $$4m^3\equiv -1 \pmod{p}$ entonces $$ 27 x \equiv 64 \pmod{p} \\ 4 x \equiv -1 \pmod{p}$$

Multiplicar la primera ecuación por 4, segundo por 27 y restar.

Answer 3

Sugerencia:

Encontrar el cociente y el resto cuando se divide $(27)(4m^3 + 1)$ $3m+4$.