Calcular integrales $\int_0^1 {\frac{{\arcsin x}}{x}dx} $

Question

Este es mi problema, he intentado usar el cambio de variable, pero sin resultado hasta ahora. ¿Alguien me puede ayudar?

$$ \int_0^1 {\frac{{\arcsin x}} {x} dx} $$

Answer 1

Reemplazar $\arcsin x$ $\theta$ entonces la integral se convierte en $$I=\int_{0}^{\pi/2} \frac{\theta}{\sin \theta}\cos \theta d\theta$$ Then apply integration by parts to get $% $ $I=-\int_{0}^{\pi/2}\ln\sin\theta d\theta=-\int_{0}^{\pi/2}\ln \cos\theta d\theta=-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\ln\sin 2\theta d\theta+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\ln2d\theta$el primer integral puede ser reescrito ahora como abajo $$-\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi}\ln \sin\theta d\theta=-\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/2}\ln \sin\theta d\theta-\frac{1}{4}\int_{\pi/2}^{\pi}\ln \sin\theta d\theta$$ after a change of variable from $2\theta $ to $\theta$ and then it can be rewritten as $$-\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/2}\ln \sin\theta d\theta-\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/2}\ln \cos\theta d\theta=-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\ln \sin\theta d\theta=\frac{I}{2}$$ Hence we get $$I=\frac{I}{2}+\frac{\pi}{4}\ln 2\\ \Rightarrow I=\frac{\pi}{2}\ln 2$$

Answer 2

Hacer la sustitución $ x \mapsto \sin u $ llegar a $ \int\limits_0^\frac{\pi}{2} u \cot u \ du $. Continuar con la integración por las piezas para llegar a $ \left[u \ln \sin u \right] _0^{\frac{\pi}{2}} - \int\limits_0^\frac{\pi}{2} \ln \sin u \ du $. La última integral es widel sabido que $ -\frac{\pi \ln 2}{2} $ y por lo tanto, la respuesta es $ \frac{\pi \ln 2}{2} $ $ \left[u \ln \sin u \right] _0^{\frac{\pi}{2}} = 0 $.

Answer 3

Integración por partes da %#% $ #%

Ahora, considere el integral

$$ F = \int_{0}^{1}\frac{x^{\alpha}}{\sqrt{1-x^2}}dx = \frac{1}{2}\,{\frac {\sqrt {\pi} \,\Gamma \left (\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{2} \right)} {\Gamma \left (\frac{\alpha}{2}\,+1 \right)}}, $$

que se evaluó utilizando la función beta. Entonces nuestra integral $$I = \int_0^1 {\frac{{\arcsin x}}{x}dx} = -\int_0^1 {\frac{\ln(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx} .$ se puede evaluar usando $I$ como

$F$$