Un Liouville integrable sistema admite un conjunto de variables de acción ángulo y es, por definición no caótico. ¿Sin embargo el verdadero converse, son sistemas no integrables automáticamente caótica? ¿Hay ejemplos de sistemas no-integrable no caótico?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El punto clave aquí es que, cualquier sistema dinámico que no es completamente integrable presentan caótico regímenes1. En otras palabras, no todas las órbitas se acostará sobre una invariante toro (Liouville del toro es la estructura topológica de un totalmente integrable sistema), en principio, un sistema caótico puede incluso han cerrado estable órbitas periódicas (típico para regular/integrable en sistemas) para ciertas condiciones iniciales, el conjunto de condiciones tiene medida cero (es decir en los estados en que la órbita son sólo accesible desde otros estados de la misma órbita).
Con el fin de conseguir que usted familiarizado con estos conceptos, sugiero mirar en 2D dinámica de billar. Estos modelos son de gran interés debido a que su dinámica está definido solamente por la forma de la frontera, circulares, elípticas, estadio, etc. Ahora un interesante ejemplo para mostrar aquí sería la forma ovalada de frontera (nota circular y elipsoide de billar son regulares porque de sus simetrías):
En la imagen de arriba (por Tureci, Hakan, et al. 2002), en la izquierda se ve el mapa de poincaré2 de la 2D oval de billar (con reflexión especular), y en la derecha para ver 3 ejemplos de los diferentes regímenes del sistema. Este es un perfecto ejemplo muestra un sistema que admite sólo localmente integrable regiones. El caso a) corresponde a una cuasi-órbita periódica, sólo marginalmente estable. El caso b) se muestra una estable órbita periódica rodeado por una estable de la isla y, finalmente, el caso c), correspondiente a la totalidad de la densidad de puntos de las regiones del mapa, lo que es indicativo de movimiento caótico. Para leer más, te sugiero buscar en algunos de los artículos en scholarpedia, y, por supuesto, no te pierdas esta fantástica revisión por A. Douglas Piedra.
1Por ejemplo, todos los no-lineal de los sistemas que no son de Liouville integrable (como se explica en los comentarios). Tenga en cuenta que los sistemas lineales siempre puede ser resuelto por la exponenciación. Pero que dijo que uno debe ser cuidadoso de las distinciones entre la solvencia y la integrabilidad.
2Estos mapas se obtienen mediante la elección de una sección de poincaré, y encontrando la intersección de las trayectorias en el espacio de fase con esta sección. Estos mapas permiten una representación de la evolución de cualquier sistema dinámico, independientemente de la dinámica de los involucrados. Para obtener más intuición, ver aquí.
