$\require{AMScd}$
Denotar $P$$\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]$, que es la práctica común para indicar que es la localización de $\mathbb{Z}$ a los poderes de $p$. Denotar $\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}/p^{\infty}$. Tenemos una secuencia exacta $0\rightarrow \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}[\frac{1}{p}]\rightarrow \mathbb{Z}/p^{\infty}\rightarrow 0$. La aplicación de $\mathrm{Ext}(-,\mathbb{Z})$, parte de los asociados largo de la secuencia exacta lee $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}],\mathbb{Z})\rightarrow \mathrm{Hom}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})\rightarrow \mathrm{Ext}(\mathbb{Z}/p^{\infty},\mathbb{Z})\rightarrow \mathrm{Ext}(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}],\mathbb{Z})\rightarrow \mathrm{Ext}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})$, que resulta ser $0\rightarrow \mathbb{Z}\rightarrow \mathrm{Ext}(\mathbb{Z}/p^{\infty},\mathbb{Z})\rightarrow \mathrm{Ext}(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}],\mathbb{Z})\rightarrow 0$.
Queda por calcular el $\mathrm{Ext}(\mathbb{Z}/p^{\infty},\mathbb{Z})$. Tomando el inyectiva presentación de $\mathbb{Z}$: $0\rightarrow \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\rightarrow 0$. Tomando $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/p^{\infty},-)$, se convierte en $0\rightarrow \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/p^{\infty},\mathbb{Z})\rightarrow \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/p^{\infty},\mathbb{Q})\rightarrow \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/p^{\infty},\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$. Tenga en cuenta que $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/p^{\infty},\mathbb{Q})=0$ ya que cada elemento de a $\mathbb{Z}/p^{\infty}$ ha de torsión. Además, $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/p^{\infty},\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ es determinado por las imágenes de $e_i$ $1/p^i$ respectivamente ($i\ge 0$), la satisfacción de $pe_i=e_{i-1}$ ($i\ge1$). No es difícil ver que son exactamente $\mathbb{Z}_p$ $p$- ádico enteros. Por lo $\mathrm{Ext}(\mathbb{Z}/p^{\infty},\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}_p$.
Vamos a analizar más de cerca. Tomar la secuencia exacta de los complejos de la cadena de la inducción de la larga secuencia exacta (algunos 0 omitido por simplicidad):
$$\begin{CD}
0 @>0>> \mathbb{Z} @>\text{id}>>\mathbb{Z} \\
@VVV @VVV @VVV \\
\bigoplus_{i \ge j > 0}\mathbb{Z} @>{e_{ij}\rightarrow (p^j e_i-e_{i-j})}>> \bigoplus_{i \ge 0}\mathbb{Z} @>{e_i \to \frac{1}{p^i}}>> \mathbb{Z} \left[\frac{1}{p} \right] \\
@VVV @VVV @VVV \\
\bigoplus_{i \ge j > 0}\mathbb{Z} @>{e_{ij}\rightarrow (p^j e_i-e_{i-j}), (e_0 = 0)}>> \bigoplus_{i > 0}\mathbb{Z} @>{e_i \to \frac{1}{p^i}}>> \mathbb{Z} /p^\infty
\end{CD}
$$
Dualizing se representa por:
$$\begin{CD}
0 @>>> \prod_{i > 0}\mathbb{Z} @>{f(e_{ij})=p^jf(e_i)-f(e_{i-j})}>> \prod_{i\ge j>0} \mathbb{Z}\\
@VVV @VVV @VVV \\
0 @>>> \prod_{i \ge 0}\mathbb{Z} @>{f(e_{ij})=p^jf(e_i)-f(e_{i-j})}>> \prod_{i\ge j>0} \mathbb{Z} \\
@VVV @VVV @VVV \\
\mathbb{Z} @>\text{id}>> \mathbb{Z} @>0>>0
\end{CD}
$$
Para saber cómo $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})\rightarrow \mathrm{Ext}(\mathbb{Z}/p^{\infty},\mathbb{Z})$, tomamos un $a\in\mathbb{Z}$, la cual puede ser inducida por $(a,0,0,...)$. Esta es asignada a $f(e_{ii})=a,f(e_{ij})=0,i\ne j$.
Si podemos probar $1$$\mathrm{Hom}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})$$\mathbb{Z}_p$, que se asignan a $\mathrm{Ext}(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}],\mathbb{Z})$ inducir la extensión de la misma $0\rightarrow \mathbb{Z}\rightarrow E\rightarrow \mathbb{Z}/p^{\infty}\rightarrow 0$, entonces hemos terminado.
Directamente tire y empuje hacia fuera para ver, el primero es $(\oplus_{i\ge0}\mathbb{Z})/I$, $I$ generado por $(1,-p,0,0,...), (1,0,-p^2,0,...),(1,0,0,-p^3,...),...$, isomorfo a $\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]$ mediante el envío de $e_i$$1/p^i$; el segundo es$(q,p)$$q-p=n\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Q},p\in\mathbb{Z}/p^{\infty}$, isomorfo a $\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]$ mediante el envío de $(q,p)$$q$. No es difícil verificar los morfismos en ambas extensiones son los más obvios, haciéndolos equivalentes.
Tomando de nuevo, tenemos $\mathrm{Ext}(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}],\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}_p/\mathbb{Z}$.
