Problema del teorema de Liouville

Question

Aquí está mi problema:

Demuestre que existe una constante A tal que$f(z)$ para todo$|f '(z)| < |f(z)|$. Estoy tratando de usar el teorema de Liouville para probar e intentar establecer$z \in \mathbb{C}$ y luego g (z) es constante. No estoy seguro si mi pensamiento es correcto y cómo probar este problema? Gracias

Answer 1

Considere la posibilidad de $g(z) = \frac{f'(z)}{f(z)}$. Desde $|f'(z)| \lt |f(z)|$ vemos que $f$ no tiene ceros, por lo $g$ es todo. Por lo tanto, $g$ es toda una función de la satisfacción de $|g(z)| \lt 1$, así que por Liouville es constante. Esto significa que $f'(z) = C f(z)$ algunos $C \lt 1$.

Desde $f$ es todo, podemos escribir la $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ todos los $z \in \mathbb{C}$ y la ecuación de $f'(z) = C f(z)$ conduce a $$f'(z) = \sum_{n=0}^{\infty} (n +1) a_{n+1} z^{n} = C \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n.$$ Mediante la comparación de los coeficientes vemos que $a_1 = C a_0$, $2 a_2 = C a_1$, $3a_3 = Ca_2$, etc, por lo que el $a_n = \frac{C^{n}}{n!} a_0$. En otras palabras, $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{0}}{n!} (Cz)^n = a_{0} e^{Cz}$.

Ahora vamos a probar la estimación. Desde $C \lt 1$ tenemos para todos los $z \in \mathbb{C}$ que $$|f(z)| \leq \sum_{n=0}^{\infty} \frac{|a_0|}{n!}\,|Cz|^n \leq \sum_{n=0}^{\infty} \frac{|a_0|}{n!} |z|^n = |a_0| e^{|z|},$$ casi como queríamos. Eligiendo $A \gt |a_0|$ obtenemos el deseado de desigualdad estricta $|f(z)| \lt A e^{|z|}$.