Cómo mostrar esto:$\sum_{k=2}^{n}\frac{\ln{k}}{k^2}\approx \ln{n}\cdot\left(\zeta_{n}{(2)}-\frac{\pi^2}{6}\right)+C$

Question

Muestre que: $$\sum_{k=2}^{n}\dfrac{\ln{k}}{k^2}\approx \ln{n}\cdot\left(\zeta_{n}{(2)}-\dfrac{\pi^2}{6}\right)+C,n\to\infty$ $ donde$$\zeta_{n}{(k)}=\sum_{j=1}^{n}\dfrac{1}{j^k}$$and $ C $ es constante real.

Conozco este$$\zeta{(x)}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^x}$ $$$\Longrightarrow \zeta'{(x)}=-\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln{n}}{n^x}$, entonces tenemos$x=2$ $ Pero para esta aproximación, no puedo probarlo.

Muchas gracias

Answer 1

La reescritura de las sumas un poco, usted se está preguntando cómo demostrar que

$$ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\ln k}{k^2} - \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{\ln k}{k^2} \approx -\ln n \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k^2} + C. $$

Mirando este uno puede adivinar que probablemente vamos a tener $C = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\ln k}{k^2}$, de modo que sólo sería necesario demostrar que

$$ \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{\ln k}{k^2} \approx \ln n \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k^2}. \etiqueta{1} $$

El argumento de que iba a utilizar depende de qué es exactamente lo que entendemos por $\approx$. Por ejemplo, al líder de la orden

$$ \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{\ln k}{k^2} \approx \int_n^\infty \frac{\ln x}{x^2}\,dx = \frac{\ln n + 1}{n} \approx \frac{\ln n}{n} $$

y

$$ \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \approx \int_n^\infty \frac{dx}{x^2} = \frac{1}{n}, $$

así que tenemos una prueba de $(1)$ en este sentido.