¿No estaban los cuantificadores lógicos motivados principalmente por dominios de discurso infinitos?

Question

Hay esta cita de Hermann Weyl:

"… la lógica clásica fue abstracta de las matemáticas de conjuntos finitos y sus subconjuntos …. Olvidando este origen limitado, uno luego confundió esa lógica con algo por encima y anterior a toda matemática, y finalmente la aplicó, sin justificación, a las matemáticas de conjuntos infinitos. Este es el Pecado Original de [Cantor] en la teoría de conjuntos …." (Weyl, 1946)

¿Esto implica que en la invención de los cuantificadores "$\exists, \forall$", solamente fueron usados para dominios de discurso finitos?

En ese caso, creo que eso significaría que pueden ser vistos simplemente como abreviaturas de los conectivos "$\land$, $\lor$". Por ejemplo, si el dominio consiste de $3$ elementos $a, b, c$, entonces simplemente

$\exists x\ \phi(x)\equiv\phi(a)\lor\phi(b)\lor\phi(c)$

y

$\forall x\ \phi(x)\equiv\phi(a)\land\phi(b)\land\phi(c).$

Una motivación es entender si puedo pensar en las reglas de los cuantificadores como simplemente inducidas por las reglas de los conectivos. Por ejemplo, para dominios finitos, deduje que utilizando solamente las leyes de De Morgan

$\neg\exists x\ \phi(x)=\neg((\phi(a)\lor\phi(b))\lor\phi(c))=\neg(\phi(a)\lor\phi(b))\land\neg\phi(c)=(\neg\phi(a)\land\neg\phi(b))\land\neg\phi(c)=\forall x\ \neg\phi(x).$

En un tiempo en el que las personas ni siquiera habían desarrollado los cuantificadores, supongo que ni siquiera pensaron en cosas como axiomatizar aritmética finitamente aún.

Dado que encontré la cita en el artículo que discute la controversia detrás de las cardinalidades:

Una vez que obtuvimos cuantificadores para dominios infinitos (como los números naturales), ¿hay un obstáculo adicional para aceptar dominios no numerables?

Me pregunto sobre este punto porque si introduces el cuantificador, porque no puedes escribir una oración infinitamente larga, por ejemplo una afirmación $\forall$ sobre el elemento de $\mathbb Z$, entonces ya no hay mucha diferencia con el problema que surge con $\mathbb R$. Claro, no son contables - pero aún puedes nombrar muchos de sus elementos (aunque no puedas especificar algunos). Solo puedes manejar todos ellos a través de $\forall$, y eso es cierto no importa de qué cardinalidad infinita estés hablando.

Answer 1

Varias cosas deben ser mencionadas aquí. En primer lugar, la sustitución de cuantificadores por conjunciones y disyunciones requiere no solo que el dominio de discurso sea finito, sino que su tamaño y de hecho todos sus elementos sean conocidos explícitamente. Por ejemplo, una ley que diga "todos los siervos deben darle a su señor feudal un cuarto de todo el grano que cultivan" solo se puede expresar en esta generalidad utilizando cuantificadores, no como una conjunción de leyes separadas para cada siervo (y cada grano). Una formulación con conjunciones tendría que ser reescrita cada vez que el señor adquiera un nuevo siervo.

Ahora, en cuanto a la afirmación de Weyl, no creo que haya afirmado que el mero uso de cuantificadores se originó en situaciones finitas y se extiende inapropiadamente a lo infinito. Más bien, él se opuso a algunas de las leyes lógicas que rigen afirmaciones que involucran cuantificadores (y conectivos). Un ejemplo típico sería la ley de la lógica clásica que dice $$ (\forall x\,\phi(x))\lor(\exists x\,\neg\phi(x)). $$ Si $x$ abarca un conjunto finito, esta ley es (relativamente) poco problemática. O todos los $x$ satisfacen $\phi$ o podemos (en principio) pasar por todos los valores posibles de $x, uno tras otro, y eventualmente encontrar uno que no satisfaga $\phi$. Con infinitos valores posibles para $x (o peor aún, infinitos sin contar), la idea de pasar por todos ya no es tan convincente.

En este punto, es importante ser claro sobre el significado previsto del cuantificador existencial. Weyl y otros constructivistas abogan por interpretar $\exists x$ como significando que podemos (al menos en principio) encontrar un valor apropiado para $x$. Las matemáticas clásicas interpretan $\exists x$ como simplemente afirmando la existencia de un $x$, sin afirmar nuestra habilidad para encontrar algo. Esta discrepancia sobre lo que debería significar $\exists$ obviamente llevará a desacuerdos sobre la validez de fórmulas como la que se muestra arriba. Los matemáticos clásicos dirán que es obviamente correcto; los constructivistas dirán que es una afirmación arrogante sobre nuestra omnisciencia; y los extremistas de cada lado pensarán que el otro lado está loco.

También quisiera comentar sobre tu pregunta acerca de si los dominios no numerables son peores que los infinitos numerables. Algunos de los problemas, como los que describí anteriormente, son los mismos en ambos casos. Sin embargo, existen diferencias que, hasta donde las entiendo, parecen reducirse a la siguiente idea. Aunque no podemos "pasar por" todos los elementos de un dominio numerable como podemos hacerlo con uno finito, al menos podemos visualizar un proceso que, si se continúa para siempre, recorrería todo el dominio. En el caso de dominios no numerables, ni siquiera esa "exhaustión potencial" del dominio está disponible. Hay un libro de Gregory Moore sobre la historia del Axioma de Elección, en el que reproduce correspondencia entre destacados matemáticos franceses, justo después de que se propuso el Axioma de Elección, en la que discuten hasta qué punto es aceptable. Si mal no recuerdo, Hadamard encontró completamente aceptable el Axioma de Elección, mientras que otros, incluyendo a Lebesgue y Baire, argumentaron a favor de aceptar solo versiones que permitan un número numerable de elecciones. Un cínico diría que eso se debe a que habían demostrado teoremas que dependen del axioma de elección numerable, pero las razones que dan en estas cartas sugieren una diferencia intuitiva genuina entre los casos numerable y no numerable.

Answer 2

En lógica, los cuantificadores son indefinidos, es decir, conceptos primitivos. Tienen que cumplir con axiomas. Pero su interpretación es tan abierta y variable como la interpretación de los primitivos del álgebra de Boole.

Los cuantificadores de Henkin son un ejemplo de interpretaciones no estándar de cuantificadores que cumplen con todos los axiomas habituales de los cuantificadores, pero no concuerdan con nuestra intuición de existe o para todo. Consulta a Alonzo Church, Lógica Matemática, en mi opinión, el único libro de texto introductorio satisfactorio.

En la historia, Hilbert y sus discípulos tuvieron muchos problemas para axiomatizar el cuantificador. Varios de sus primeros trabajos fueron erróneos: esta historia se explica en Church.

Existe una diferencia en el espíritu entre los lógicos y los matemáticos. La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas y comparte el mismo espíritu. Goedel nunca entendió realmente a Russell. Para Russell, solo podía haber una lógica y se trataba del mundo real, el interés de Russell en la lógica surgió de su propio intento de axiomatizar la Física. Por eso, cuando llegó la Relatividad y luego la Teoría Cuántica, él y Whitehead abandonaron el Principia sin terminar y escribieron sobre la Relatividad en su lugar, y Whitehead desarrolló una teoría gravitacional rival a la de Einstein (durante bastante tiempo hubo rivales de los Einsteinianos: los Whiteheadianos, de los cuales todavía quedaba uno en la Universidad Queen's, cuando estuve allí, un profesor de Física de 90 años... siguiendo dando clases y haciendo investigaciones...). Cuando Whitehead se jubiló, tiró su copia del Principia y fue recogida por un estudiante de posgrado en el pasillo....

Dicho esto, ahora descansaré un poco, ya que debería ser obvio que la motivación para introducir cuantificadores dependerá de si uno proviene de la Física, la Lógica o las Matemáticas. Supongo que Cauchy con su definición de límite fue uno de los primeros: claramente esto responde a tu pregunta "sí, incontable". R era su universo. Frege, aún más: su motivación era definir un número cardinal como una clase de equivalencia de conjuntos. Pero con la teoría de tipos, las cosas finalmente se vuelven interesantes: la Física nos dirá si hay un número incontable, contable o finito de objetos. No hay conjuntos, por lo que solo hay un número contable de proposiciones o fórmulas construidas sobre los objetos (tipo superior), por lo que los cuantificadores de segundo orden solo tratan con un número contable de instanciaciones. Además, ¿cuántos nombres propios pueden haber en un lenguaje formal? Solo un número contable.... parece que la gente ha perdido interés en este problema.