¿Cuál es la definición categórica correcta de localización de un módulo

Question

Sea$A$ un anillo,$S$ sea un subconjunto multiplicativo,$M$ an$A$ - module. Sea$\iota : A \to S^{-1}A$ el mapa$a \mapsto a/1$. $\iota$ Puede definirse categóricamente como un objeto inicial en la categoría de homomorfismos de anillo cuyo dominio es$A$ que mapea$S$ en las unidades (los morfismos de esta categoría son triángulos de conmutación).

En Atiyah McDonald, por lo que puedo decir, no existe una definición categorial similar para$S^{-1}M$. Mi pregunta es: ¿Cuáles son algunas buenas maneras de definir$S^{-1}M$ categóricamente?

Answer 1

Deje ${}_A\mathrm{Mod}$ ser la categoría de la izquierda $A$-módulos. Para todos los $M\in{}_A\mathrm{Mod}$, la localizada módulo de $M_S$ es en el pleno de la subcategoría $\mathcal C$ ${}_A\mathrm{Mod}$ se extendió por todos los objetos $N$ tal que para todos los $s\in S$, la multiplicación mapa $$m_{N,s}:n\in N\mapsto sn\in N$$ is isomorphism of abelian groups. Moreover, let $\iota:\mathcal C\{} _A\mathrm{Mod}$ be the inclusion functor, One can show easily that the localization functor $(\mathord-)_S:{}_A\mathrm{Mod}\a\mathcal C$ is a left adjoint to $I$.

Desde la izquierda adjoints son únicos hasta el isomorfismo, cuando existe, esta única caracteriza a la localización functor $(\mathord-)_S$.

Finalmente, uno debe notar que un poco de trabajo extra mostrará que la subcategoría $\mathcal C$ I definido anteriormente, es en realidad, naturalmente, equivalente a la categoría de ${}_{A_S}\mathrm{Mod}$ de izquierda $A_S$-módulos.