¿Las integrales de Lebesgue superiores e inferiores son iguales para cada$f$?

Question

Es cierto que la parte inferior y superior de Lebesgue integrales son iguales para todos los Lebesgue integrable función?

Si usted mira aquí verás que:

Una interesante característica de funciones medibles es que la parte inferior y superior Lebesgue integrales pueden coincidir, si uno asume también algunos acotamiento.

Ejercicio 11 Deje $f: {\bf R}^d \rightarrow [0,+\infty]$ ser medibles, limitada, y la desaparición de fuera de un conjunto finito de medida. Mostrar que la parte inferior y superior de Lebesgue integrales de $f$ está de acuerdo. (Sugerencia: use Ejercicio 4.) Hay un contrario a esta afirmación, pero vamos a aplazar a notas posteriores. ¿Qué sucede si $f$ es permitido ser ilimitada, o no se admite dentro de un conjunto finito de medir?

Entonces... ¿qué pasa si $f$ es ilimitado? Son superior e inferior de las integrales de la igualdad? Una persona en los comentarios sugerido es cierto para unbounded funciones (pero no proporcionan una prueba).

Lebesgue define el área, entonces es razonable esperar que la aproximación de la zona "desde arriba" y "desde abajo" debe dar el mismo valor (es equivalente a decir que superior e inferior de Lebesgue integrales son iguales - sería bueno si es verdad).

Basado en los comentarios a mi pregunta, yo diría que depende de la definición de función simple - si queremos que se tome finito valus, o countably muchos de los valores. Pero, de acuerdo a la definición en el prof. El Tao del artículo, ¿cuál sería la respuesta correcta a la pregunta planteada en el Ejercicio 11, citado anteriormente?

Al parecer, hay ejemplos de Riemann integrable funciones, cuyo superior de la integral de Lebesgue no es igual (inferior) de Lebesgue integrales. Pero es cierto que si ambos Riemann y Lebesgue integrales existen, son iguales.

Answer 1

De acuerdo a la definición 1 funciones simples son medibles funciones que toman sólo afinite número de valores.

tomar la función de $f:x\mapsto\frac{1}{x^2}\mathbb{1}_{[1;+\infty[}$ (de I a d) y tome $g$ una función simple, que $g\geq f $. Llamamos a $\alpha$ el más pequeño distinto de cero el valor de $g$ (que existe porque $g$ tomar solamente un número finito de valores), ya que $g\geq f$ sabemos que para cada $x\geq 1$ tenemos $g(x)>0$$g(x)\geq \alpha$. Por lo tanto $\int g \mathrm d\lambda\geq \alpha \cdot m([1;+\infty[)=+\infty$. De modo que la parte superior de Lebesgue la integral de la $f$ es infinito mientras que la menor lebesgue la integral de la $f$ es igual a la integral de Riemann de $f$, que es finito.

La misma cosa se puede hacer con $f : x \mapsto \frac{1}{\sqrt x}\mathbb{1}_{]0;1]} $.

Esta dos contraejemplo dejar de trabajar si permitimos que una simple función para tomar una contables número de valores.

EDITAR (en respuesta a la edición de la pregunta) :

En primer lugar, lo que dices no es correcto, las funciones que he utilizado en mi ejemplo no son riemann integrables estrictamente hablando. Si el uso de Riemann de la integración va a ser "incorrecto" de las integrales. Por lo general (pero puede variar un poco entre los diferentes autores) de Riemann integral tratar sólo con delimitadas las funciones con soporte compacto, para que superior e inferior de la integral de lebesgue son iguales (y para los que riemann y lesbesgue integral son iguales)

Segunda y última, en el artículo que enlaza Tao definir el unsigned Lebesgue la integral como el inferior sin signo de integral de lebesgue, sin mencionar el superior de la integral de lebesgue. Así que de acuerdo a la definición elegí la Lebesgue sin signo integral existe, incluso si la parte inferior y superior de la integral no son iguales.

Answer 2

Las integrales superior e inferior pueden estar en desacuerdo sobre un conjunto de medida de Lebesgue 0, es decir, "$\lambda$ - ae"