¿Por qué las matrices de dispersión son unitarias?

Question

En el libro de QM de Griffith, introduce las matrices de dispersión como un problema 2.52 al final del capítulo.

Para un potencial Dirac-Delta $V(x) = \alpha \delta (x - x_0)$ He derivado la matriz de dispersión y he observado que es unitaria $S^{-1} = S^{\dagger}$ .

Estoy tratando de explicar por qué esto es intuitivo, pero realmente no tengo una imagen intuitiva de lo que la conjugación hermitiana $S^{\dagger}$ está haciendo aquí. ¿Qué opinas?

Answer 1

$S^{-1}=S^*$ es sólo la condición de unitaridad. Se suele escribir como $S^*S=1$ (junto con la invertibilidad) y significa que $\psi^*\psi$ no cambia cuando $\psi$ se sustituye por $S\psi$ :

$(S\psi)^*(S\psi)=\psi^*S^*S\psi=\psi^*\psi$

Por lo tanto, la probabilidad se conserva, algo imprescindible para una buena matriz de dispersión.

En general, la unitaridad de la matriz S es una consecuencia del hecho de que la matriz S se define formalmente como un límite de productos de matrices unitarias, que son a su vez unitarias, aunque el análisis del límite requiere cierto cuidado.

En realidad, me he dado cuenta de que quizás no he entendido el sentido de tu pregunta, ya que has preguntado por lo que hace el adjunto en tu cálculo. El delta de un operador autoadjunto es en sí mismo autoadjunto, ¿quieres decir eso? Si no es así, ¡aclara tu pregunta!

Answer 2

La mayoría de las veces, el $S$ -matriz se define como un operador entre los espacios de Hilbert inicial y final asintóticos para un dependiente del tiempo proceso de dispersión, es decir, entre $t\to-\infty$ et $t\to\infty$ . Allí unitaridad codifica la conservación de las probabilidades en el tiempo. Por otro lado, el libro que menciona OP, Ref. 1, habla de un independiente del tiempo proceso de dispersión. Para una discusión de la conexión entre la dispersión dependiente del tiempo y la independiente del tiempo, véase este Pregunta de Phys.SE.

En esta respuesta sólo consideraremos la dispersión independiente del tiempo. La Ref. 1 define para un sistema 1D (dividido en tres regiones $I$ , $II$ y $III$ con un potencial localizado $V(x)$ en la región central $II$ ), a $2\times 2$ matriz de dispersión $S(k)$ como una matriz que indica cómo dos ondas asintóticas entrantes (que se mueven a la izquierda y a la derecha) (de número de onda $\mp k$ con $k>0$ ) están relacionadas con dos ondas asintóticas salientes (de izquierda y derecha). En las fórmulas,

$$\begin{align}\left. \psi(x) \right|_{I}~=~& \underbrace{A(k)e^{ikx}}_{\text{incoming right-mover}} + \underbrace{B(k)e^{-ikx}}_{\text{outgoing left-mover}}, \tag{1} \cr \left. \psi(x)\right|_{III}~=~& \underbrace{F(k)e^{ikx}}_{\text{outgoing right-mover}} + \underbrace{G(k)e^{-ikx}}_{\text{incoming left-mover}}, \tag{2}\cr k~>~&0,\end{align} $$

$$ \begin{pmatrix} B(k) \\ F(k) \end{pmatrix}~=~ S(k) \begin{pmatrix} A(k) \\ G(k) \end{pmatrix}.\tag{3}$$

Para demostrar que una matriz de dimensión finita $S(k)$ es unitario basta con demostrar que $S(k)$ es un isometría ,

$$\begin{align} S(k)^{\dagger}S(k)~\stackrel{?}{=}~&{\bf 1}_{2\times 2} \cr\quad\Updownarrow~&\quad\cr |A(k)|^2+ |G(k)|^2~\stackrel{?}{=}~&|B(k)|^2+ |F(k)|^2,\end{align}\tag{4}$$

o de forma equivalente,

$$ |A(k)|^2-|B(k)|^2 ~\stackrel{?}{=}~|F(k)|^2-|G(k)|^2.\tag{5} $$

La ecuación (5) puede justificarse con los siguientes comentarios y razonamientos.

1. $\psi(x)$ es una solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo ( TISE ) $$\begin{align} \hat{H} \psi(x) ~=~& E \psi(x), \cr \hat{H}~:=~&\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(x),\cr \hat{p}~:=~&\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x},\end{align}\tag{6}$$ para la energía positiva $E>0$ .

2. El espacio de solución para la ecuación de Schrödinger $(6)$ que es una EDO lineal de segundo orden, es un espacio de vectores bidimensional.

3. Se deduce de la ec. $(6)$ que los números de onda $\pm k$ , $$k ~:=~\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} ~\geq~ 0,\tag{7} $$ debe ser igual en las dos regiones asintóticas $I$ et $III$ . Esto implicará que el $M$ -(que se definirá más adelante) y el $S$ -son diagonales en $k$ -espacio.

4. Además, se deduce que existe un lineal biyectiva mapa $$ \begin{pmatrix} A(k) \\ B(k) \end{pmatrix} ~\mapsto~ \begin{pmatrix} F(k) \\ G(k) \end{pmatrix}.\tag{8} $$ En la Ref. 2, el matriz de transferencia $M(k)$ se define como la matriz correspondiente $$ \begin{pmatrix} F(k) \\ G(k) \end{pmatrix}~=~ M(k) \begin{pmatrix} A(k) \\ B(k) \end{pmatrix}.\tag9$$ El $S$ -matriz $(3)$ es un reordenamiento de la ec. $(9)$ .

5. Se puede utilizar la ecuación de Schrödinger. $(6)$ (y la realidad de $E$ et $V(x)$ ) para demostrar que el Wronskian $$ W(\psi,\psi^{\ast})(x)~=~\psi(x)\psi^{\prime}(x)^{\ast}-\psi^{\prime}(x)\psi(x)^{\ast},\tag{10}$$ o, de forma equivalente, el corriente de probabilidad $$ J(x)~=~\frac{i\hbar}{2m} W(\psi,\psi^{\ast})(x),\tag{11}$$ no depende de la posición $x$ , $$\begin{align} \frac{\mathrm dW(\psi,\psi^*)(x)}{\mathrm dx} ~=~&\psi(x)\psi^{\prime\prime}(x)^{\ast}-\psi^{\prime\prime}(x)\psi(x)^{\ast}\cr ~\stackrel{(6)}{=}~&0.\end{align}\tag{12}$$ La unitaridad (5) equivale a la afirmación de que $$\left. W(\psi,\psi^*)\right|_{I}~=~\left. W(\psi,\psi^*) \right|_{III}.\tag{13}$$ La ref. 3 menciona que la ec. $(12)$ codifica la conservación de la energía en la dispersión.

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Referencias:

1. D.J. Griffiths, Introducción a la mecánica cuántica; La sección 2.7 de la 1ª edición de 1994 y el problema 2.52 de la 2ª edición de 1999.

2. D.J. Griffiths, Introducción a la mecánica cuántica; Problema 2.49 de la 1ª edición de 1994 y problema 2.53 de la 2ª edición de 1999.

3. P.G. Drazin y R.S. Johnson, Solitones: An Introduction, 2ª edición, 1989; Sección 3.2.