Mostrar que$1^k+2^k+3^k+ \ldots +n^k$ es divisible por$ 1+2+3+ \ldots +n$

Question

Si $k$ es un entero positivo impar, demostrar que para cualquier entero $ n\geq 1$, $(1^k+2^k+3^k+ \ldots +n^k)$ es divisible por $ (1+2+3+ \ldots +n)$.

Yo no entiendo cómo está conectado( o diferente) que esto: supongamos que $n$ es número natural e, incluso, muestran que $ n∤1^n+2^n+3^n+…(n−1)^n$

He intentado para un pequeño número $n=3,4$, a continuación, utilizar la inducción en $k$ pero cómo mostrar para cualquier natural $n$? ¿la respuesta en el enlace se ofrece una aproximación a la solución.

Sugerencias sería suficiente. Gracias

Answer 1

Dejar $S_k=1^k+2^k+\cdots +n^k$. Dado que$$S_1=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2$ $ y$gcd(n,n+1)=1$, basta con mostrar que$2S_k$ es divisible por$n$ y por$n+1$ por separado.

Ahora$$2S_k =(1+n^k)+(2^k+(n-1)^k)+\cdots+(n^k+1)$ $ y también$$2S_k=2n^k+(1+(n-1)^k)+(2^k+(n-2)^k)+\cdots+((n-1)^k+1).$ $ Y hemos terminado (note que$k$ es impar).